曲线积分的应用：求质量均匀心脏线的质心
面积=2*1/2∫r^2dθ 积分区间（0，π）
∫∫xdxdy
=∫r*cosθ*r^2dθ 积分区间（0，2π）
=∫[a(1+cosθ)]^3*cosθdθ
=a^3*∫(cosθ+3(cosθ)^2+3(cosθ)^3+(cosθ)^4dθ
=a^3*(sinθ+3/2(θ+1/2sinθ)+3sinθ-(sinθ)^3+∫(cosθ)^4dθ
∫(cosθ)^4dθ=3θ/8+sin4θ/32+sin2θ/4
代入区间（0，2π）
只有3/2θ，3θ/8 不为0
所以原式=15πa^3/4
相除=5/6*a
扩展资料
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑，利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）
系科仪器
2024-08-02 广告
简单计算一下即可，答案如图所示
^面积=2*1/2∫r^2dθ 积分区间（0，π）
∫∫xdxdy
=∫r*cosθ*r^2dθ 积分区间（0，2π）
=∫[a(1+cosθ)]^3*cosθdθ
=a^3*∫(cosθ+3(cosθ)^2+3(cosθ)^3+(cosθ)^4dθ
=a^3*(sinθ+3/2(θ+1/2sinθ)+3sinθ-(sinθ)^3+∫(cosθ)^4dθ
∫(cosθ)^4dθ=3θ/8+sin4θ/32+sin2θ/4
代入区间（0，2π）
只有3/2θ，3θ/8 不为0
所以原式=15πa^3/4
相除=5/6*a
扩展资料：
先看一个例子：设有一曲线形构件占xOy面上的一段曲线 ，设构件的密度分布函数为ρ(x,y)，设ρ(x,y)定义在L上且在L上连续，求构件的质量。
对于密度均匀的物件可以直接用ρV求得质量；对于密度不均匀的物件，就需要用到曲线积分，dm=ρ(x,y)ds;所以m=∫ρ(x,y)ds；L是积分路径，∫ρ(x,y)ds就叫做对弧长的曲线积分。
参考资料来源：百度百科-曲线积分
