Question

已知曲线过点(2,1),且曲线上任一点(x,y)处 的切线斜率等于-1-y/x,求此曲线方程

Answer 1

是(-1-y)/x吗?
在任一点(x,y)的切线斜率就是在该点的导数值,
dy/dx=-(1+y)/x,
解该微分方程,
dy/(1+y)=-dx/x,
两边积分,
∫ d(1+y)/(1+y)=-∫ dx/x
ln(1+y)=-lnx-lnC=-lnCX
1+y=1/(Cx)
当x=2时,y=1,
1+1=1/(2C),
C=1/4,
∴y=(4-x)/x.
.

追问

不是是(-1-y)/x，是-1-（y/x). 答案应该是y=-(1/2)x+4/x

追答

dy/dx=-1-y/x,
设v=y/x,
y=vx,
dy/dx=v+xdv/dx,
-1-v=v+x*dv/dx,
dx/x=-dv/2v+1,
lnx=-(1/2)ln(2v+1)+lnC1,
x=C1/√(2v+1),
x=C1/√(2y/x+1)=C1√[x/(2y+x)]
x^2=C1^2*x/(2y+x),
2xy+x^2=C,
x=2时,y=1,
C=2*2*1+2^2=8,
∴x^2+2xy-8=0,
即y=4/x-x/2.