Question

数列{an}满足a1=0且且1/[1-a(n+1)]-1/(1-an)=1，

1.求数列{an}通项公式；2.设bn=1-根号下a(n+1)/根号下n，Sn是{bn}的前n项和，证Sn<1

Answer 1

1、∵1/[1-a(n+1)]-1/(1-an) ∴﹛1/(1-an)﹜是等差数列
∴1/(1－an)＝1/(1－a1)＋(n－1)×1＝n ∴1－an＝1/n ∴an＝(n－1)/n

2、bn＝[1－√n/(n＋1)]/√n＝1/√n－1/(√n＋1)
∴Sn＝(1/1－1/√2)＋(1/√2－1/√3)＋…＋[1/√n－1/(√n＋1)]＝1－1/(√n＋1)

∵n＞0 ∴1/(√n＋1)＞0 ∴1－1/(√n＋1)＜1

∴Sn＜1

Answer 2

⑴设Cn=1/(1-an) ∴ C1=1 C(n+1)-Cn=1 ∴Cn是等差数列 Cn=1+(n-1)×1=n
1/(1-an)=n ∴an=(n-1)/n
⑵bn=1-根号下a(n+1)/根号下n={1-√[n/(n+1)]}/√n=√(1/n)-√1/(n+1)
Sn=1-√1/2＋√1/2-√1/3＋√1/3－√1/4＋﹍＋√(1/n)-√1/(n+1)=1-√1/(n+1)＜1(n∈N)