Question

求证f(x)=x²在R上连续

Answer 1

解答：
那按定义证明吧。
设x0是定义域中的任意一个值，
则f(x0)=x0²
当x-->x0+时，即△x--->0+, f(x)=(x0+△x)²=x0²+2x0*△x+△x²---->x0²
当x-->x0-时，即△x--->0-, f(x)=(x0+△x)²=x0²+2x0*△x+△x²---->x0²
∴ f(x)在x0处的左极限=右极限=f(x0)
∴ f(x)在x0处连续
∵ x0∈R
∴ f(x)在R上连续

Answer 2

对于任意实数a、正数ε（不妨设ε<1），

当|2a-1|<=|2a+1|时，平方之后可得a>=0
如果|x-a|<ε/|2a+1|=ε/(2a+1)，
|x-a|<=ε<1
a-1<x<a+1
2a-1<x+a<2a+1
|x+a|<2a+1
所以|f(x)-f(a)|=|x+a||x-a|<(2a+1)*ε/(2a+1)=ε
所以f(x)在x=a处连续

当|2a-1|>|2a+1|时，可得a<0
如果|x-a|<ε/|2a-1|=-ε/(2a-1)，
则|x-a|<ε<1
2a-1<x+a<2a+1
|x+a|<|2a-1|=-(2a-1)
所以|f(x)-f(a)|=|x+a||x-a|<-(2a-1)*(-ε/(2a-1))=ε
所以f(x)在x=a处连续

综上，f(x)在任一点连续

Answer 3

证：
设x∈R,x＋Δx∈R
Δf=f（x＋Δx）-f（x）
=（x＋Δx）²-x²
=2xΔx＋（Δx）²
所以
lim（Δx→0）Δf
=lim（Δx→0）【2xΔx＋（Δx）²】
=lim（Δx→0）【2xΔx】＋lim（Δx→0）【（Δx）²】
=0＋0
=0
所以
由连续定义，得
f(x)=x²在R上连续。