Question

格林公式，曲线积分与路径无关的充要条件。

1；格林公式的条件是：闭区域D由分段光滑曲线L围成，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数。
2；曲线积分与路径无关的充要条件是：区域D是一个单连通域，函数P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数，ap/ay=aq/ax。
这俩个定理相同地方是：函数P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数
不同点是：1.闭区域D由分段光滑曲线L围成，2.区域D是一个单连通域，且ap/ay=aq/ax
请问不同点1和2的关系是什么？
我想问的是：
1；闭区域D由分段光滑曲线L围成可以推出什么？是函数P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数？还是区域D是一个单连通域？还是ap/ay=aq/ax？
2；反过来推成立么

Answer 1

首先格林公式中的两个条件是完全独立的，不存在哪个可以推出哪个的可能，由闭区域D由分段光滑曲线L围成是推不出P(x,y)及Q(x,y)在D上有一阶连续偏导数的（而且你在问题补充里说的那几个哪个也推不出来），因为围成D的分段光滑曲线L的方程和被积函数P(x,y)、Q(x,y)没有任何关系，曲线L分段光滑说明L可以分段用方程L1：y=f1(x)，L2：y=f2(x)...表示，只有这样转化成二重积分后才能确定积分上下限（你可以回忆一下二重积分中积分区域为X型或Y型时积分限的确定方法）。
其次格林公式对于闭区域D是复连域也是成立的，只不过多加一条边界曲线而已。而曲线积分与路径无关必须要求D是一个单连通域，这是因为格林公只式在D内部成立，而积分曲线C是D内任意一条闭曲线，只有D单连通才能保证曲线C围成的部分全都在D内部，也就是保证格林公式成立。如果曲线“有洞”（即复连域），而C恰好从洞中穿过，那么对于这曲线格林公式不成立。