Question

若f(x)是R上的奇函数且f(x)在[0,正无穷)上单调递增，则下列结论：

1.y=|f(x)|是偶函数 2.对任意的x∈R，都有f(-x)+|f(x)|=0 3.y=f(-x)在(负无穷，0]上单调递增 4. y=f(x)f(-x)在(负无穷，0]上单调递增 其中正确的结论有。 （请说明理由，急需，万分感谢！）

Answer 1

1.因为f(x)是奇函数,所以f(x)定义域关于原点对称
又|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|是偶函数,1正确
2.f(0)=0,而f(x)在[0,+∞)单调递增,有x>0时,f(x)>f(0)=0,
x<0时,f(x)=-f(-x)<0,f(-x)+|f(x)|=-f(x)-f(x)>0,故2不正确
3.对于任意的x1<x2≤0,有-x1>-x2≥0
f(-x1)>f(-x2),即y=f(-x)在(-∞,0]上单调递减,3不正确
4.对于任意的x1<x2≤0
有-x1>-x2≥0,f(-x1)>f(-x2)≥f(0)=0,f(-x1)^2>f(-x2)^2
f(x1)f(-x1)=-f(-x1)^2<-f(-x2)^2=f(x2)f(-x2)
即y=f(x)f(-x)单调递增,4正确
综上,1和4正确,