已知抛物线y²=2px的焦点为F 过F的直线与抛物线交与AB两点 A，B在抛物线准线上的射影为A1B1
MF=√(mn)，本题的解形式不唯一，因为mnp的取值互相制约，需满足(m-p)/m+(n-p)/n=0的条件，mnp里有1个数是多余的条件，p=2mn/(m+n)。我只是给了一个比较简单的表达式。
抛物线焦点F(p/2,0)，准线L为x=-p/2。
AA1=AF=m，BB1=BF=n，AB=m+n，AB'=m-n。
所以A1B1=BB'=√(AB²-AB'²)=√((m+n)²-(m-n)²)=2√(mn)，故A1M=B1M=√(mn)。
先说一个比较巧的几何学方法：
BM=√(MB1²+B1B²)=√(n²+mn)，同理AM=√(m²+mn)，
因为BM=√(n(n+m))=√(BF×AB)，因此BM/BF=AB/BM，所以三角形FMB和三角形AMB相似。
所以MF=MB/AB×AM=√(n(n+m))/(n+m)×√(m(n+m))=√(mn)。
我图画的不好，实际上MF和AB垂直，AM和MB垂直。
下面是另一个比较硬算的方法：
点N为AB中点，则FN=AF-AN=m-(m+n)/2=(m-n)/2。
M的y坐标=FNsin(FNM)=FNsin(BAB')=(m-n)/2×2√(mn)/(m+n)=(m-n)√(mn)/(m+n)。
sin(BFO)=(FL-BB1)/FB=(p-n)/n，同理sin(AFx)=(AA1-FL)/FA=(m-p)/m，因为角度相等，得
(p-n)n+(p-m)/m=0，得p=2mn/(m+n)。
所以由勾股定理，因为F到准线距离为p=2mn/(m+n)已知，则
MF=√(p²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√(4m²n²/(m+n)²+mn(m-n)²/(m+n)²)=√((mn)(4mn+(m-n)²)/(m+n)²)
=√((mn)(m+n)²/(m+n)²)=√(mn)。
解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则A1(1/2·p,y1),B1(1/2·p,y2)
易知
M(-1/2·p，1/2·y1+1/2·y2)
∴MF=√[(-1/2·p-1/2·p)²+(1/2·y1+1/2·y2)²]=√[p²+1/4(y1+y2)²]
由抛物线定义，可知
AF=x1+1/2·p=m,BF=x2+1/2·p=n，则可分别推出
①AB=m+n，BH=lx1-x2l=lm-nl
∴AH=ly1-y2l=√(AB²-BH²)=2√mn
②x1=m-1/2·p，x2=n-1/2·p
将x1，x2分别代入抛物线方程，有
y1²=2pm-p²，y2²=2pn-p²
y1²+y2²=2pm+2pn-2p²
∴2y1y2=(y1²+y2²)-ly1-y2l²=2pm+2pn-2p²-4mn
∴(y1+y2)²=y1²+y2²+2y1y2=4(pm+pn-p²-mn)
∴MF=√(pm+pn-mn)
