Question

已知函数f(x)=x^2-mx+m-1.

已知函数f(x)=x^2-mx+m-1是否存在整数a，b（其中a，b是常数，且a<b),使得关于x的不等式a《f（x）《b的解集为{x|a《x《b}？若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点 (-1,0)
即：a-b+c=0
b=a+c
而x≤f(x)≤(1+x2)/2
即：x≤ax2+bx+c≤(1+x2)/2
ax2+(b-1)x+c≥0 ①
(a-1/2)x2+bx+c-1/2≤0 ②
要使①恒成立，则要：
a>0
(b-1)2-4ac≤0
要使②恒成立，则要：
a-1/2<0
b2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
即：
0<a<1/2 ③
(b-1)2-4ac≤0 ④
b2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0 ⑤
把b=a+c代人④和⑤中，可得：
(a+c-1)2-4ac≤0
(a+c)2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
化简：
(a+c-1)2-4ac≤0
a2+c2+1+2ac-2a-2c-4ac≤0
a2-2ac+c2-2(a+c)+1≤0
(a-c)2≤2(a+c)-1 ⑥
而
(a+c)2-4(a-1/2)(c-1/2)≤0
a2+c2+2ac-4[ac-1/2(a+c)+1/4]≤0
a2+c2+2ac-4ac+2(a+c)-1≤0
a2-2ac+c2+2(a+c)-1≤0
(a-c)2+2(a+c)-1≤0
2(a+c)-1≤-(a-c)2 ⑦
结合⑥⑦得：
(a-c)2≤2(a+c)-1≤-(a-c)2
即：(a-c)2≤-(a-c)2
2(a-c)2≤0
则：a-c=0
a=c
那么：(a-c)2≤2(a+c)-1≤-(a-c)2
就是：0≤2(a+a)-1≤0
4a-1=0
a=1/4
c=a=1/4
b=a+c=1/2
使x≤f(x)≤(1+x2)/2对一切实数x都成立的a、b、c的值为：
a=1/4 b=1/2 c=1/4