Question

请教几道微分方程题目。200分。求牛人解答。。谢谢了。求过程详细

Answer 1

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Answer 2

这几个都是一阶线性微分方程，解法都是类似的。型如y'+P(x)y=Q(x)的称为一阶线性微分方程，如果Q(x)=0一阶线性齐次微分方程，求解非齐次方程，先要求出该方程对应的齐次方程y'+P(x)y=0的通解，用分离变量法求得通解为y=Ce^(-∫P(x)dx)，再把齐次方程通解中的C换成未知函数u(x)，把y=ue^(-∫P(x)dx)代入到非齐次方程y'+P(x)y=Q(x)中，即可求出非齐次方程的通解。
后两题有些不同，但都可以用 类似方法求解。第三题可令dy/dx+y=0，分离变量得dy/y=-dx，积分的y=Ce^(-x)，再设y=ue^(-x)。带回原方程中得u‘e^(-x)-ue^(-x)+ue^(-x)+x/ue^(-x)=0，du/dx=-xe^(2x)/u，分离变量udu=-xe^(2x)，两边积分得u^2=-xe^(2x)+e^(2x)/2+C，把u=ye^x代入，y^2=1/2-x+Ce^(-2x)即为通解。
第四题可令z=y^2，由于z'=2yy'，原方程转化为xz'+(x-1)z=x^2e^x，这样就可以用上面的方法了。

Answer 3

一阶线性方程标准形式为y'+P(x)y=Q(x)，其通解公式为y=e^(-∫P(x)dx*【{∫Q(x)*[∫e^∫P(x)dx]dx}+C】，其中各个积分都不用带自由常数，因最后已有。以下只详细解出第一个，剩下的当练习自己上上手吧。
a) 除以x化成标准形式y'+[(1+x)/x]y=e^(-x)/x, 由通解公式得
y=e^(-∫(1+x)/xdx)[(∫e^(-x)/x)*(e^∫(1+x)/xdx)dx]=e^(-x)/x*[∫e^(-x)/x*xe^x)dx+C]=[e^(-x)/x](-x+c)
b) 由通解公式得y=e^(∫(1+3/x)dx)[∫(x+2)*(e^-∫(1+3/x)dx)dx+C]=x^3*e^x[∫(x+2)*x^(-3)*e^(-x)dx+C
分部积分，消项，求出通解，代入y(1)即可确定C。
c) 先变形yy'+y^2=-x，然后设y^2=z(x)/2，则有z'+2z=-2x，这是标准形式，求出z即得y。
d) 先变形2yy'+(x-1)/x*y^2=xe^x，再设y^2=z(x)，则有z'++(x-1)/x*z=+(x-1)/x，这是标准形式，求出z即得y。

Answer 4

哎，我大学毕业4年了。6年前，我微分与积分考试都是90分以上，现在都忘得一干二净了。看你这个题目，让我感觉似陈相识。感慨啊

Answer 5

有钱人、、、