Question

已知f(x)=ln(1-x)-ln(1+x) 用定义证明函数f(x)在定义域内单调递减 求详细点~~~急需~~

Answer 1

定义域为-1<x<1
令-1<x1<x2<1
则f(x1)-f(x2)=ln(1-x1)-ln(1+x1)-ln(1-x2)+ln(1+x2)
=ln[(1-x1)(1+x2)]-ln[(1+x1)(1-x2)]
=ln(1-x1x2+x2-x1)-ln(1-x1x2+x1-x2)
因为x2-x1>0, 所以(x2-x1)> (x1-x2)
故(1-x1x2+x2-x1)>(1-x1x2+x1-x2)
所以ln(1-x1x2+x2-x1)-ln(1-x1x2+x1-x2)>0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在定义域(-1,1)内为单调减函数

Answer 2

∵f(x)=ln(1-x)-ln(1+x) ∴1－x＞0 1＋x＞0 ∴﹣1＜x＜1

设﹣1＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝[㏑(1－x1)－㏑(1＋x1)]－[㏑(1－x2)－㏑(1＋x2)]
＝㏑[(1－x1)/(1＋x1)]－㏑[(1－x2)/(1＋x2)]＝㏑﹛[(1－x1)/(1＋x1)]／[(1－x2)/(1＋x2)]﹜

＝㏑﹛[(1－x1)(1＋x2)]/(1＋x1)(1－x2)]＝㏑[(1－x1＋x2－x1x2)/(1＋x1－x2－x1x2)]
∵(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)＝2(x2－x1)＞0

∴(1－x1＋x2－x1x2)－(1＋x1－x2－x1x2)＞0 ∴(1－x1＋x2－x1x2)/(1＋x1－x2－x1x2)＞1

∴㏑[(1－x1＋x2－x1x2)/(1＋x1－x2－x1x2)]＞㏑1＞0

∴f(x1)－f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)

∴函数f(x)在定义域内单调递减

Answer 3

f(x)=ln(1-x)-ln(1+x)=ln{(1-x)/(1+x)}
对f(x)求导， { -（1+x）-（1-x）}/(1+x)^2=-2/(1+x)^2<0
所以在定义域为减函数