若数列an的各项均为正数,任意n属于N,a(n+1)^2=an×a(n+2)+t,t为常数,且2a 50
若数列an的各项均为正数,任意n属于N,a(n+1)^2=an×a(n+2)+t,t为常数,且2a3=a2+a4,(n+1)是下标(1)求(a1+a2)/a2的值(2)证...
若数列an的各项均为正数,任意n属于N,a(n+1)^2=an×a(n+2)+t,t为常数,且2a3=a2+a4,(n+1)是下标(1)求(a1+a2)/a2的值(2)证明数列an是等差数列
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解:
(1)
怀疑你题目是否抄错,应该是(a1+a3)/a2吧,,如果是,那么(a1+a3)/a2=2
数列是等差数列,证明过程见第2问。
(2)
a(n+1)²=ana(n+2)+t
a(n+2)²=a(n+1)a(n+3)+t
a(n+2)²-a(n+1)²=a(n+1)a(n+3)-ana(n+2)
a(n+2)²+ana(n+2)=a(n+1)²+a(n+1)a(n+3)
a(n+2)[an+a(n+2)]=a(n+1)[a(n+1)+a(n+3)]
n=1时,
a3(a1+a3)=a2(a2+a4)
又a2+a4=a3²
a3(a1+a3)=a2·2a3
2a2=a1+a3
a2-a1=a3-a2
假设当n=k(k∈N*)时,a(k+1)+a(k+3)=2a(k+2),则
a(k+2)[ak+a(k+2)]=a(k+1)[a(k+1)+a(k+3)]
a(k+2)[ak+a(k+2)]=a(k+1)·2a(k+2)
2a(k+1)=ak+a(k+2)
a(k+1)-ak=a(k+2)-a(k+1)
k为任意正整数,因此对于任意正整数n
a2-a1=a3-a2=...=a(n+1)-an
数列是等差数列。
(1)
怀疑你题目是否抄错,应该是(a1+a3)/a2吧,,如果是,那么(a1+a3)/a2=2
数列是等差数列,证明过程见第2问。
(2)
a(n+1)²=ana(n+2)+t
a(n+2)²=a(n+1)a(n+3)+t
a(n+2)²-a(n+1)²=a(n+1)a(n+3)-ana(n+2)
a(n+2)²+ana(n+2)=a(n+1)²+a(n+1)a(n+3)
a(n+2)[an+a(n+2)]=a(n+1)[a(n+1)+a(n+3)]
n=1时,
a3(a1+a3)=a2(a2+a4)
又a2+a4=a3²
a3(a1+a3)=a2·2a3
2a2=a1+a3
a2-a1=a3-a2
假设当n=k(k∈N*)时,a(k+1)+a(k+3)=2a(k+2),则
a(k+2)[ak+a(k+2)]=a(k+1)[a(k+1)+a(k+3)]
a(k+2)[ak+a(k+2)]=a(k+1)·2a(k+2)
2a(k+1)=ak+a(k+2)
a(k+1)-ak=a(k+2)-a(k+1)
k为任意正整数,因此对于任意正整数n
a2-a1=a3-a2=...=a(n+1)-an
数列是等差数列。
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