Question

当x→0时，求ln（1+e^(2/x)）/ln（1+e^(1/x)）的极限

重点能告诉我 为什么当x→0+时，极限为2 当x→0-时，极限为0

Answer 1

有一个很重要的东西你要牢记，利用等价无穷小替换时x必须趋近于0，这是很重要的前提条件！举个例子，x→1时，e∧（x－1）－1是等价于x－1的，因为x→1时，（x－1）这个整体是→0的。对于你的疑难，x→0-时，2/x是趋近于负无穷，此时e∧（2/x）趋近于0，所以ln（1 e∧（2/x））～e∧（2/x），同理ln（1 e∧（1/x））～e∧（1/x），而x→0 时，2/x→正无穷，此时e∧（2/x）→正无穷而不趋近于0，因此不能用等价无穷小替换，解答过程前面已有。

Answer 2

lim<y->+∞>(ln(1+e^(2y))/(ln(1+e^y)=lim((2e^(2y))/(1+e^2y))/(e^y/(1+e^y)
=2lim(e^y(1+e^y))/(1+e^(2y))=2lim(1+e^(-y))/(1+e^(-y))=2
lim<y->-∞>(ln(1+e^(2y))/(ln(1+e^y)=lim((2e^(2y))/(1+e^2y))/(e^y/(1+e^y))
=2lim<y->-∞>e^ylim<y->-∞>(1+e^y)/(1+e^(2y))=0*1=0

Answer 3

当x→0-时

原式＝lim[e^﹙2/x﹚]/[e^[1/x﹚]＝lime^﹙1/x﹚＝0

当x→0+时

原式＝lim[2/x＋1/e^﹙2/x﹚]/[1/x＋1/e^﹙1/x﹚]＝lim[2e^﹙2/x﹚＋x]/[e^﹙2/x﹚＋xe^﹙1/x﹚]
＝lim[2e^﹙2/x﹚]/[e^﹙2/x﹚]＝2