Question

高一数学三角函数

如果(sinθ)^2-(cosθ)^2>cosθ-sinθ,，且θ∈(0,2π)那么角θ的取值范围是

Answer 1

(sinθ)^2-(cosθ)^2>cosθ-sinθ
(sinθ+cosθ) *(sinθ - cosθ) -（sinθ - cosθ）>0
(sinθ+cosθ-1)(sinθ - cosθ)>0 ①
sinθ+cosθ=√2sin（θ+π/4） sinθ - cosθ= -√2cos（θ+π/4）
令t=θ+π/4 则①化简为 2（sint -√2/2）*cost<0 即（sint -√2/2）*cost<0
分情况讨论
1. 当（sint -√2/2）>0 cost<0时
（sint -√2/2）>0 得到 π/4<t<3π/4
cost<0 得到 π/2<t<3π/2 （画出sint，cost函数图像就清楚了）
求得 π/2<t<3π/4
因为 t=θ+π/4 ， θ∈(0,2π) 所以 θ∈(π/4，π/2)

2.当（sint -√2/2）<0 cost>0时
（sint -√2/2）<0 得到 0<t<π/4 或 3 π/4<t<2π
cost>0 得到 0<t<π/2 或 3 π/2<t<2π （画出sint，cost函数图像就清楚了）
求得 0<t<π/4 或 3 π/2<t<2π
因为 t=θ+π/4 ， θ∈(0,2π) 所以 θ∈(5π/4，7π/4)
所以θ的取值范围是 (π/4，π/2)或(5π/4，7π/4)

大体思路就是先化简 再讨论 最后求解
尽量化成单一的有关联的函数这样就会方便求解

Answer 2

解：(sinθ)^2-(cosθ)^2=（sinθ+cosθ）（sinθ-cosθ）
sinθ-cosθ=√2sin（θ-π/4），sinθ+cosθ=√2sin（θ+π/4）
当sinθ-cosθ>0时，解得π/4<θ<5π/4
∵sinθ+cosθ>-1,解得0<θ<π或3π/2<θ<2π
∴π/4<θ<π
当sinθ-cosθ<0时，解得0<θ<π/4或5π/4<θ<2π
∵sinθ+cosθ<-1,解得π<θ<3π/2

∴π/4<θ<π,解得5π/4<θ<3π/2

当sinθ-cosθ=0时，不等式无解。
综上所述：π/4<θ<π或5π/4<θ<3π/2
希望对你有所帮助，请采纳，谢谢，不懂可以追问。

Answer 3

-cos(2θ)>√2cos(θ+π/4)
√2cos(θ+π/4)+cos(2θ)<0
解得：角θ的取值范围是：｛θ|π/4<θ<π,5π/4<θ<3π/2}

Answer 4

(sinθ + cosθ)(sinθ - cosθ) + sinθ - cosθ > 0

(sinθ + cosθ + 1)(sinθ - cosθ) > 0
[√2(sinθ)*√2/2 + (√2/2)cosθ + 1](sinθ - cosθ) > 0
[√2(sinθ)*cos(π/4)+ cosθsin(π/4) + 1](sinθ - cosθ) > 0
[√2sin(θ + π/4) + 1](sinθ - cosθ) > 0

[√2sin(θ + π/4) + 1](sinθ - cosθ) > 0
[sin(θ + π/4) + √2/2](sinθ - cosθ) > 0

(1)sin(θ + π/4) + √2/2 > 0且sinθ - cosθ > 0

(2)sin(θ + π/4) + √2/2 < 0且sinθ - cosθ < 0
具体请自己做，否则我有时间再补充。

Answer 5

(sinθ)^2-(cosθ)^2>cosθ-sinθ
(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)+(sinθ-cosθ)>0
(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ+1)>0
sinθ-cosθ>0,sinθ+cosθ+1>0 或sinθ-cosθ<0,sinθ+cosθ+1<0
其他的自己算了
结果是π/4<θ<π, 5π/4<θ<3π/2