Question

在梯形ABCD中，AB//CD，AB=2CD，M、N分别为CD、BC的中点，若向量AB=a向量AM+b向量AN，则a+b=？

给出计算过程

Answer 1

推导过程省去向量两字：
依题意：MB=AB-AM，而：MB=CB-CM=2NB-CD/2=2NB-(-AB/2)/2=2NB+AB/4
又：NB=AB-AN，所以：AB-AM=2(AB-AN)+AB/4，即：5AB/4=-AM+2AN
即：AB=-4AM/5+8AN/5=aAM+bAN，即：(a+4/5)AM+(b-8/5)AN=0
因AM和AN均为非零向量，所以：a=-4/5，b=8/5，故：a+b=4/5

Answer 2

解：延长AN交DC的延长线于E。根据已知条件容易证明，AE=2AN，CE=BA，从而ME=5/4AB
∵向量ME=AE-AM
∴向量5/4AB=2AN-AM
∴向量AB=8/5AN-4/5AM
∴向量AB=a*AM+b*AN
∴a=-4/5 b=8/5
∴a+b=4/5