Question

函数综合题

已知f(x)是定义在R上的函数 且F(x)=f(x)-f(a-x)
（1）若F(0)=1,求F(a)的值
（2）求证：F(a-x)=-F(x)
（3）求证：函数y=F(x)的图像关于点(a/2,0)成中心对称图形

Answer 1

(1)令x=a，得F(a)=f(a)-f(0)
令x=0，得F(0)=f(0)-f(a)=1，则f(a)-f(0)=-1，即F(a)=-1

（2）F(a-x)=f(a-x)-f[a-(a-x)]=f(a-x)-f(x)=-F(x)

(3)要证函数y=F(x)的图像关于点(a/2,0)成中心对称图形
即要证F(a/2-x)=-F(a/2+x)
F(a/2-x)=f(a/2-x)-f[a-(a/2-x)]=f(a/2-x)-f(a/2+x)

F(a/2+x)=f(a/2+x)-f[a-(a/2+x)]=f(a/2+x)-f(a/2-x)

所以，F(a/2-x)=-F(a/2+x)成立
所以，函数y=F(x)的图像关于点(a/2,0)成中心对称图形

Answer 2

（1）因为F(0)=f(0)-f(a)=1,所以F(a)=f(a)-f(0)=-F(0)=-1
（2）直接代入验证F(a-x)=f(a-x)-f(a-(a-x))=f(a-x)-f(x)=-F(x)
（3）设A(x,F(X))是y=F(x)上任一点，则A关于（a/2,0)的对称点A'=（a-x,-F(x))，只要证明F(a-x)=-F(x)即可，利用(2)的结论得证。

Answer 3

1) F(a) = -1 解: F(0)=f(0)-f(a), F(a) =f(a)- f(0), F(0) +F(a) = 0, F(a) = -F(0)
2) F(a-x) =f(a-x) -f(x), -F(x) = -f(x) +f(a+x)= F(a-x)
3) 由(2)有，当点A(x,F(x))在F(x)图像上，则当x'=a-x时，F(x') =F(a-x)也在F(x)图像上且F(a-x)=-F(x)，即点B(a-x,-F(x))也在F(x)图像上。所以y=F(x)的图像关于点(a/2,0)成中心对称图形。