Question

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已知F1,F2是椭圆C:x平方/a平方＋y平方/b平方＝1（a＞b＞0）的左，右两个焦点，过点F2且垂直x轴的直线L与椭圆C交于M,N两点，lMNl＝4.若三角形F1MN为等腰三角形,求椭圆C的方程.

Answer 1

原题F1MN是等腰直角三角形，应∠MF1N=90°；
由MN=4可知，MF2=NF2=2，M或N点纵坐标是(c,2)，代入椭圆方程可得：(c²/a²)+(2²/b²)=1，化简得 b²=2a →→ c²=a²-2a=(a-1)²-1；
由椭圆定义 MF1+MF2=2a， ∴ MF1=2a-2；
对等腰RT△MF1N，由其面积计算式知 (MF1)²=2c*MN；故 4(a-1)²=8c；
以上关于a、c的方程联立求解得：c=1，a=1+√2，从而 b=√(2a)=√(2+2√2)；
所求椭圆方程：x²/(3+2√2)+y²/(2+2√2)=1；