Question

大学线性代数矩阵题

Answer 1

证明必要性：
因A^2=A
所以[(1/2)(B+E)]^2=(1/2)(B+E)
得(B+E)^2=2(B+E)
即B^2+2B+E=2B+2E
得B^2=E

充分性：
因B^2=E
所以A^2=(1/4)(B+E)^2
=(1/4)(B^2+2B+E)
=(1/4)(2B+2E)
=(1/2)(B+E)=A
即A^2=A

所以A^2=A <=> B^2=E

追答

追问

这个地方为什么不是平方？

追答

因为E的平方还是E

单位阵的n次方还是其本身

Answer 2

充分条件，
A²=1/4(B²+BE+EB+E²)
=1/4(B²+2B+E)
∵B²=E
∴A²=1/2(B+E)=A

必要条件，
A²=1/4(B²+BE+EB+E²)
=1/4(B²+2B+E)
A²=A
∴1/4(B²+2B+E)=1/2(B+E)
∴B²+2B+E=2B+2E
∴B²=E

追问

B+E的平方展开后为什么是E不是E的平方？

追答

E乘以任意矩阵都等于这个矩阵，
换言之，
E²=E·E=E