Question

已知函数f(x)=|x+1/x|-|x-1/x|,关于x的方程f(x)^2+a|f(x)|+b=0恰有6个不同实数解,则a的取值范围是

Answer 1

楼上的做法呢，比较严密。但是啊，有些繁琐。这里提供一种图像法。
先来看f(x)，注意到（这个很重要），有恒等式2*min{f(x),g(x)}=f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|，故当x>0时，f(x)=2min{x,1/x}，又f(x)是偶函数，故图像已经很好画了，还可以得到值域是0到2。

再来看方程，f(x)^2+a|f(x)|+b=0，等价于|f(x)|^2+a|f(x)|+b=0。分离参数a,得到-a=|f(x)|+b/|f(x)|,如果b>0这等式右边是一个双钩函数，如果b<0,那就是一个单调函数（学了线性代数你就会知道他们都是双曲线），左边是一条平行于x轴的直线。如果b<0，那么无论如何都不可能有6个解。如果b>0,那么显然，解的个数是4+2的形式，即，f(x)=2要能满足方程，故b=-4-2a，而且双钩函数极小值点要小于2，即0<b<4，消去b，得到，-4<a<-2。

Answer 2

显然f(x)定义域为x≠0
且f(-x)=f(x)，即f(x)为偶函数
易知f(x)=|(x^2+1)/x|+|(x^2-1)/x|
当x<-1时，f(x)=-2/x（递增）
当-1≤x<0时，f(x)=-2x（递减）
当0<x≤1时，f(x)=2x（递增）
当x>1时，f(x)=2/x（递减）
不难知0<f(x)≤2

因f(x)>0
则关于x的方程f(x)^2+a|f(x)|+b=0等价于f(x)^2+af(x)+b=0
因关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0有6个不同解
则关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0必有两解
即⊿=a^2-4b>0（I）

在（I）的条件下
解关于f(x)的方程f(x)^2+af(x)+b=0得
f(x)1=[-a+√(a^2-4b)]/2
f(x)2=[-a-√(a^2-4b)]/2
显然f(x)1>f(x)2

令y1=[-a+√(a^2-4b)]/2，y2=[-a-√(a^2-4b)]/2
要使关于x的方程f(x)^2+af(x)+b=0有6个不同解
则f(x)与直线y1、y2有6个不同交点
于是有[-a+√(a^2-4b)]/2=2（II）
且有0<[-a-√(a^2-4b)]/2<2（III）

由（I）（II）（III）得-4<a<-2