Question

高等数学无穷级数问题

将函数展开成幂级数，展完了之后就要确定x的取值范围了，对于x的的范围，是要记住那常用的7个函数展开式的，范围也是要记住的，那再用间接法求出一个函数展开式的时候，是不是不能直接套用这些x的取值范围？是不是只能套用开区间？对于端点处的收敛性，是不是必须再带到幂级数那里去进行判断？判断的话是不是既要判断幂级数在这个端点处是不是收敛的，又要判断原函数在这个端点处是不是连续的，若两个都满足，才能确定在这个端点处取闭区间？

我对于一些有阶乘的幂级数，不会判断他的收敛性。我知道可以用比值法去判断（限正项），可是有些题目就是判断不出来，就像图中这个，当x=1时和当x=-1时我不会判断他的收敛性，我算过比值法，算出来是1，方法失效。求详解，万分感谢！！！

请先解答我上面一段的问题，对于这类问题，我都不是很清楚，谢谢，然后解答我下面一段的问题吗，万分感谢！！！

Answer 1

楼上对那几个问题讲解的都差不多,我补充几句，记公式套是最快捷的，端点处一般要检验一下，只要原函数端点处收敛，就需取闭区间。
你的图看不到，不知你用的是同济的高数书么，从稿氏他编模旦书的顺序我们就可以看出判断函数敛散性的方法的适用范围。第一个方法：部分和数列有界。这个是判断收敛基本方法，是最强的。第二个方法：被判断级数小于一个收敛级数，则收敛；大于发散级数，则发散。这个强度次之。第三个方法：比较审敛法。需要构造级数，对于一般高数题，活用这个方法全部能做出来，这个方法比比值法强。第四个方法：比值法根值法（旦敬扰两个方法等价）。强度最低。一般做题选择方法从后向前用，先用第四个方法，能直接做出来甚好，做不出来也没关系，若比值或根值为1，则用第三个方法，构造级数，是万能方法，基本所有题都能做出来。

Answer 2

1、可以记公式去套，但是不建议。
2、如果套公式，区间两端是开还是闭与原来情况一致。
3、求收敛域的时候一般先求出收敛半径，即可得到收敛区间，再对端点处的取值进行判断是否收敛（跟连续并返无关），以求的收敛域。
4、比值法和根植法求得哪慧结果为1时，此时李蔽答失效。可用其它方法判别，例如求出等价无穷小1/n^p，根据p的值判断。