Question

二次函数f(x)=ax^2+bx+c的系数均为整数,若α,β属于(1,2),且α,β是方程f(x)=0两个不等的实数根

则最小正整数a的值为?

Answer 1

根据二次函数两根间的关系:x1+x2=-b/a x1x2=c/a
x1,x2属于(1,2),则2<x1+x2<4 1<x1x2<4
即:-2>b/a>-4 1<c/a<4
且b^2-4ac>0
a为1时,b=-3,c=2满足题目条件
即最小正整数a的值为1

追问

可答案是5

追答

算错了：
正确的：
因为α、β∈(1,2),且α、β是方程f(x)=0两个不相等的实数根
且a>0
则有以下不等式组
首先，对称轴在（1,2) 1b0
4a+2b+c>0
还有Δ=b^2-4ac>0===>-b>2根号（ac）【负号因为b-b>2根号（ac）==>
a+c>1+2根号（ac）==>
a+c-2根号(ac)>1==>
(根号（a）-根号(c))^2>1==>
(根号（a）-根号(c))>1==>
c最小为1
即(根号（a）-1)>1
根号（a）>2
因为a为整数所以a>=5
因为a,b,c为整数，所以要小心大于号

追问

a+c>-b>2根号（ac）==>a+c>1+2根号（ac）
为什么?不是只能得出a+c>2根号（ac)吗?
(根号（a）-根号(c))>1==>
c最小为1,为什么c最小值不能是0?

Answer 2

根据二次函数两根间的关系:
x1+x2=-b/a
x1x2=c/a
x1,x2属于(1,2),则2<x1+x2<4 1<x1x2<4
f(1).f(2)>0即（a+b+c)（4a+2b+c)>0
即:-2>b/a>-4 1<c/a<4
且b^2-4ac>0
列出a，b,c,b^2-4ac,根的情况如下表：
a<c<4a
2a<-b<4a

a=1
b=-3
c=2或3
b^2-4ac=1或-3（舍去）
由于f(1).f(2)>0不成立
根α,β=1,2，与题目α,β属于(1,2)矛盾，所以a=1不合适。
a=2
b=[-5， -6， -7]
c= [3,4，5，6，7]
b^2-4ac 1,-7,*,*,*
f(1) *f(2) 0, ,*,*,*

以此类推，可计算出结果来。

Answer 3

a+c>-b>2根号（ac）==>
-b>=1>2根号（ac）由整数的性质得a+c>-b+1>2根号（ac）+1
所以a+c>-b>2根号（ac）==>a+c>1+2根号（ac）
另外，若c=0,带进去显然不成立