Question

等比数列an的首项a1=2011,公比q=-1/2，数列{an}的前n项和记为Sn，前n项积记为Tn

1.证明:S2小于等于Sn小于等于S1
2.判断Tn与Tn+1的大小关系,并求m为何值时,Tn取得最大值

Answer 1

（1）证：Sn=S1+a2[1-(-1/2)^(n-1)]/(1-(-1/2))
=S1-(1/3)a1[1-(-1/2)^(n-1)]≤S1，
当n=1时，等号成立
Sn=S2+a3[1-(-1/2)^(n-2)]/(1-(-12))
=S2+(1/6)a1[1-(-1/2)^(n-2)]≥S2，
当n=2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1．
（2）解：∵|Tn+1|/|Tn|=a1a2…ana(n+1)/a1a2…an=|an+1|=2011/2^n，
∴当n≤10时，|Tn+1|＞|Tn|，
当n≥11时，|Tn+1|＜|Tn|，
故|Tn|max=|T11|
又T10＜0，T11＜0，T9＞0，T12＞0，
∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者，
∵T12/T9=a10a11a12=[2011（-1/2）^10]3＞1，
∴T12＞T9
因此当n=12时，Tn最大．

Answer 2

S[n]=4022/3[1-(-1/2)^n]
(-1/2)^2>=(-1/2)^n>=-1/2
-(-1/2)^2<=-(-1/2)^n<=1/2
4022/3[1-(-1/2)^2]<=4022/3[1-(-1/2)^n]<=4022/3[1-(-1/2)]
S[2]<=S[n]<=S[1]