Question

在数列{an}中,a1=2,an=2an-1+2^(n+1)(n>=2,)令bn=an/2^n,求证bn是等差数列，并写出其通项公式;

Answer 1

将an=2an-1+2^(n+1)(n>=2,)令bn=an/2^n两边除以2^n，得an/2^n=2a(n-1)/2^n+2，即
bn=a(n-1)/2^(n-1)+2，所以bn=b(n-1)+2，所以bn是等差数列。b1=a1/2=1，所以bn=2n-1

Answer 2

解：
∵an=2a(n-1)+2^(n+1)
且2^n≠0，等式两边同乘1/2^n，可得：
an/2^n = [2a(n-1)]/(2^n) + 2^(n+1)/2n
an/2^n - [a(n-1)]/[2^(n-1)] = 2
∵bn=an/(2^n)，带入上式，可得：
bn - b(n-1) = 2
∴数列{bn}是以b1=a1/2=1为首项，公差为2的等差数列
∴bn=b1+(n-1)d=1+2(n-1) = 2n-1

另：∵an=bn (2^n)
=(2n-1)(2^n)
也求得了an

Answer 3

an=2an-1+2^(n+1)(n>=2,)令bn=an/2^n
bn=an-1/2^(n-1)+2，则bn+1=an/2^n+2
bn+1-bn=an/2^n-an-1/2^(n-1）=an-2an-1/2^n=2^(n+1)/2^n=2
所以bn是公差为2的等差数列

Answer 4

由bn=an/2^n 可知
b(n-1)=a(n-1)/2^(n-1)

bn-b(n-1)=an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=[an-2a(n-1)]/(2^n)

由an=2an-1+2^(n+1)(n>=2,) 可知 an-2a(n-1)=2^(n+1)
所以[an-2a(n-1)]/(2^n)=2 所以bn-b(n-1)=2
所以bn是等差数列 公差为2
b1=a1/2^1 且a1=2 所以 b1=1
所以bn的通项公式为 bn=1+2（n-1） (n>1)