Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点． （1）求证：BE∥平面PDF； （2）求证：平面PDF⊥平面PAB； （3）求二面角P-BC-A的大小．

Answer 1

 

（1）取CD中点G，连接BG、EG

用中位线性质证明EG//PD

用全等证明BG//DF

于是平面PDF//平面BGE

最后得到BE//平面PDF

 

（2）连接BD，易知三角形ABD为等边三角形

由三线合一得到DF⊥AB

而由PA⊥平面ABCD知PA⊥DF，即DF⊥PA

由此可知DF⊥平面PAB

又DF属于平面PDF

所以平面PDF⊥平面PAB

 

（3）过A作BC延长线的垂线交于H，连接PH

因PA⊥平面ABCD，易知PA⊥BC

于是BC⊥平面PAH，进而知PH⊥BC

所以∠PHA即为二面角P-BC-A的平面角

 

在RT三角形PAH中

由全等或勾股定理易知AH=√3

由三角函数定义知tan∠PHA=PA/AH=√3/3

即∠PHA=30°

Answer 2

证明：（1）取PD的中点M，
∵E是PC的中点
∴ME是△PCD的中位线
∴ME∥FB
∴四边形MEBF是平行四边形∴BE∥MF
∵BE⊄平面PDF，MF⊂平面PDF
∴BE∥平面PDF．
（2）连接BD，易得△ABD为等边三角形
又由F为AB的中点
∴DF⊥AB
又∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DF
又由PA∩AB=A
∴DF⊥平面PAB
又∵DF⊂平面PDF
∴平面PDF⊥平面PAB．
解：（3）过点A做AH⊥CB延长线于H，因为PA⊥面ABCD，所以PH⊥BC，既∠PHA为二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABC中PA=1，AH=
3，所以∠PHA=30°
既二面角P-BC-A的大小为30°．