Question

一道关于函数最值的高中数学题(急求解法!!)

已知0≤x≤(兀/2),求函数y=sinx[(cosx)的平方]的最大值
谢谢各位,谁能告诉我怎么做.

Answer 1

令sinx=t,则cos^2x=1-t^2

y(t)=t(1-t^2)=t-t^3 且t∈[0,1]

y'(t)=1-3t^2

分2种情况讨论：

1.t∈[0,√3/3]时，
y'≥0，所以y为增函数，ymax=y（√3/3）=2/9√3
2.t∈[√3/3,1]时，
y'<0,所以y为减函数，ymax=y（√3/3）=2/9√3

综合两种情况，原函数最大值为2/9√3

Answer 2

y'=sinx*2cosx(-sinx)+cosx*cosx=0

cosx^2=2sinx^2

sinx^2=1/3

cosx^2=2/3

y的最大值是1/根号3*2/3=2根号3/9

Answer 3

内函数u=cosx单调减少
由于0<=cosx<=1，外函数y=sinu单调增加
因而复合函数单调减少，最大值在x=0处取到=sin1

Answer 4

利用均值不等式，y^2=1/2*2*(sinx)^2*(cosx)^4<=1/2*((2*(sinx)^2+(cosx)^2+(cosx)^2)/3)^3=4/27。