Question

急求！ 已知数列{an}中，a1=1,且当n≥2时，前n项和Sn与第n项an有如下关系：2Sn²=2an X Sn—an

求证：{1／Sn}是等差数列

Answer 1

当n>=2时有an=Sn-S(n-1)
因为2Sn²=2an X Sn—an，所以2Sn²=2[(Sn-S(n-1)]Sn-(Sn-S(n-1))
化简得2Sn*S(n-1)=S(n-1)-Sn
即1/Sn-1/S(n-1)=2
所以：{1／Sn}是等差数列，首项是1/S1=1/a1=1，公差是2
通项是1/Sn=1+2(n-1)所以Sn=1/(2n-1)
当n>=2时有an=Sn-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=-2/(2n-1)(2n-3)
n=1时有a1=1不适合an=-2/(2n-1)(2n-3)
于是an要分段表达
n=1时a1=1
当n>=2时an=-2/(2n-1)(2n-3)