Question

已知:点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC。

（1）如图一，若点O在BC上，求证：AB=AC
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC
（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。

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Answer 1

已知“点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等，且OB=OC. 

（1）如图①，若点O在边BC上，求证：AB=AC； 

设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F 

那么，OE=OF 

又已知，OB=0C 

那么，Rt△OBE≌△OCF 

所以，∠B=∠C 

所以，AB=AC 

 

（2）如图②，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC； 

设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F 

那么，OE=OF 

已知，OB=0C 

那么，Rt△OBE≌△OCF 

所以，∠OBE=∠OCF 

而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB 

所以：∠OBE+∠OBC=∠OCF+∠OCB 

即：∠ABC=∠ACB 

所以，AC=AB 

 

（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示。 

如图 

设OE⊥AB于E，OF⊥AC于F 

那么，OE=OF 

已知，OB=0C 

那么，Rt△OBE≌△OCF 

所以，∠OBE=∠OCF 

所以，180°-∠OBE=180°-∠OCF 

即，∠OBA=∠OCA 

而，由OB=OC得到：∠OBC=∠OCB 

所以：∠OBA-∠OBC=∠OCA-∠OCB 

即：∠ABC=∠ACB 

所以，AC=AB