Question

在平面直角坐标系XOY中已知圆C1：（X+3）^2+(Y-1)^2=4和圆C2：（X-4）^2+（Y-5）^2=4

（1）若直线l过点A（2,0），且于圆C2相切，求直线l的方程
（2）已知：l1,l2是过点（5/2，-1/2）且互相垂直的两条直线，若直线l1于C1相交，求证：l2于C2也相交

Answer 1

第一个问题：
容易检证出：点A（2，0）在⊙C2外。
由⊙C2的方程（x－4）^2＋（y－5）^2＝4，可知⊙C2的圆心坐标是（4，5），半径为2。
一、当直线l不存在斜率时，方程为x＝2，此时点（4，5）到直线l的距离＝4－2＝2。
　　∴x＝2是直线l的一条方程。

二、当直线l存在斜率时，设直线l的斜率为k，则方程是：y＝k（x－2），即：kx－y－2k＝0。
　　∵⊙C2与直线l相切，∴｜4k－5－2k｜/√（k^2＋1）＝2，∴｜2k－5｜＝2√（k^2＋1），
　　∴4k^2－20k＋25＝4k^2＋4，∴20k＝21，∴k＝21/20。
　　∴此时直线l的方程是（21/20）x－y－2（21/20）＝0，即：21x－20y－42＝0。

综上所述，得直线l的方程有两条，分别是：x＝2；21x－20y－42＝0。

第二个问题：
由⊙C1的方程（x＋3）^2＋（y－1）^2＝4，可知⊙C1的圆心坐标是（－3，1），半径为2。
∵点（－3，1）、（5/2，－1/2）连线的斜率k1＝（1＋1/2）/（－3－5/2）＝－3/11。
　点（4，5）、（5/2，－1/2）连线的斜率k2＝（5＋1/2）/（4－5/2）＝11/3。
∴k1k2＝－1，∴⊙C1、⊙C2的圆心与点（5/2，－1/2）的连线互相垂直。
∵两圆的半径相等，直线l1、直线l2过点（5/2，－1/2），
∴当直线l1与⊙C1相交时，直线l2也与⊙C2相交。