Question

一道关于函数奇偶性和定积分的问题？求各位请教！

书上说这个函数是奇函数，所以定积分时在对称区时是等于零。但我觉得分子是奇x奇=偶，分母也是偶的。能不能帮我解释一下？
谢谢！

Answer 1

1.这个确实是偶函数 奇函数*奇函数*偶函数=偶函数*偶函数=偶函数
2. 但是偶函数积分后就是奇函数 奇函数积分后就是偶函数 是不是书上想表达是这个呢,

被积函数是偶函数的话 就是关于Y轴对称 被积函数是奇函数就是关于原地对称

Answer 2

很简单
奇函数 * 奇函数 = 偶函数
奇函数 * 偶函数 = 奇函数
偶函数 * 偶函数 = 偶函数
奇函数定义f(- x) = - f(x)
偶函数定义f(- x) = f(x)

所以在分子，x是奇函数，sinx是奇函数，则xsinx是偶函数
而在分母，x²是偶函数，则1 + x²也是偶函数
所以分子 * 分母 = 偶函数 * 偶函数 = 偶函数

xsinx/(1 + x²)是偶函数，那是你书上错了
若 x/(1 + x²) 或 sinx/(1 + x²) 就是奇函数了

Answer 3

用奇函数俄定义求证即可：f(x) = -f(-x)