Question

无穷级数与极限，n趋近无穷，真心求教，如果不懂我的意思请留言，在线等。

1，lim 1/n^(1+(1/n))，为什么等于lim1/n
2，lim [1/(n+1)]/[1/n],为什么<1，按照上式的说法，应该等于1啊
注：上面第一个式子是用来证明∑1/n^(1+(1/n))的敛散性和∑1/n一样的
上面的第二个式子是用来证明：∑Un满足Un+1除以Un小于1，但级数∑Un发散的例子。
3，上面的第一个式子证明∑1/n^(1+(1/n))发散，用的方法是和∑1/n相比等于一，所以敛散性一样，所以发散，我觉得这种证明方法是错的。
我认为俩式相比等于一，不能证明敛散性一样，我可以举个反例，an=(-1)^n[(1/√n)+(-1)^n/n]，bn=(-1)^n/√n，可得到liman/bn=1但an发散，bn收敛，
4，上面的第二个例子如果成立，那么阿贝尔定理不就被推翻了么？阿贝尔定理是|an+1/an|=p，p>1发散，p<1收敛，而lim [1/(n+1)]/[1/n]<1，但发散。

Answer 1

1.lim 1/n^(1+(1/n)) = lim 1/n是成立的, 因为两个的极限都是0.
但是比较判别法不是要极限相等, 而是要比较两个无穷小的级别.
所以正确的表述是由二者比值的极限lim (1/n^(1+(1/n)))/(1/n) = 1, 知两个级数敛散性相同.

2. 容易知道lim (1/(n+1))/(1/n) = 1. 但是这与(1/(n+1))/(1/n) < 1不矛盾.
这个例子说U(n+1)/Un < 1是指每一项, 但并没有说lim U(n+1)/Un < 1.

3. 这个证明方法用在这里是没问题的, 是比较判别法的推论.
注意比较判别法是对正项级数叙述的, 所以不适用你的反例(不过例子举得挺漂亮).
但是原题是正项级数, 所以没问题.

4. 前面已经说过了, 虽然对每个n都有U(n+1)/Un < 1, 但是lim U(n+1)/Un = 1.
不满足Abel判别法的条件.

有疑问请追问.