数学几何难题求解
三角形ABC,角A等于90度,角C等于70度。F为AB上一点,且角ACF等于30度。E为AC上一点,且角CFE等于20度。连接BE,求证:BE平分角ABC。先给50,答得...
三角形ABC, 角A等于90度,角C等于70度。F为AB上一点,且角ACF等于30度。E为AC上一点,且角CFE等于20度。连接BE,求证:BE平分角ABC。
先给50,答得好再给50(三天后失效) 展开
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下面是一个利用三角函数的证明,需要楼主学过三角函数及其性质(要读懂这个证明,起码需要高一高二的数学知识水平)。楼主要是只想看到初中的几何学证明可能要添不少辅助线,本人对这种初中生喜闻乐见的解题方法已经力不从心了,所以只能硬着头皮开算了。
容易看出AB=AC/tan(20°),AF=AC*tan(30°),AE=AF*tan(40°)。
所以AE/AB=(AE/AF)*(AF/AC)*(AC/AB)=tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)。
只要能证明tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)=tan(10°),即可得出角ABE=10°,即告得手。
tan(20°) * tan(30°) * tan(40°)
= tan(30°) * tan(30° - 10°) * tan(30° + 10°)
(两角和以及两角差的正切公式,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB),tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB))
= tan(30°) * [(tan(30°) - tan(10°))/(1 + tan(30°) tan(10°))] * [(tan(30°) + tan(10°))/(1 - tan(30°)tan(10°))]
= tan(30°) * [(tan²(30°) - tan²(10°))/(1 - tan²(30°) * tan²(10°))
= tan(30°) * [(1/3 - tan²(10°))/(1 - (1/3)tan²(10°))]
= tan(30°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3 - tan²(10°))]
= tan(30°) * tan(10°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3tan(10°) - tan³(10°))]
(因为tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A),所以继续化简)
= tan(30°) * tan(10°) / tan(30°) = tan(10°),证明完毕。
关于tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A)的证明:
由正弦和余弦的三倍角公式(随便抓一本三角函数的书上都会有写)
sin(3A)=3sinA-4sin³A=3sinA-3sin³A-sin³A=3sinA(1-sin²A)-sin³A=3sinAcos²A-sin³A=cos³A(3tanA-tan³A),
cos(3A)=4cos³A-3cosA=cos³A+3cos³A-3cosA=cos³A-3cosA(1-cos²A)=cos³A-3cosAsin²A=cos³A(1-3tan²A),
两式一除就能证明。
容易看出AB=AC/tan(20°),AF=AC*tan(30°),AE=AF*tan(40°)。
所以AE/AB=(AE/AF)*(AF/AC)*(AC/AB)=tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)。
只要能证明tan(20°)*tan(30°)*tan(40°)=tan(10°),即可得出角ABE=10°,即告得手。
tan(20°) * tan(30°) * tan(40°)
= tan(30°) * tan(30° - 10°) * tan(30° + 10°)
(两角和以及两角差的正切公式,tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanA tanB),tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanA tanB))
= tan(30°) * [(tan(30°) - tan(10°))/(1 + tan(30°) tan(10°))] * [(tan(30°) + tan(10°))/(1 - tan(30°)tan(10°))]
= tan(30°) * [(tan²(30°) - tan²(10°))/(1 - tan²(30°) * tan²(10°))
= tan(30°) * [(1/3 - tan²(10°))/(1 - (1/3)tan²(10°))]
= tan(30°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3 - tan²(10°))]
= tan(30°) * tan(10°) * [(1 - 3tan²(10°))/(3tan(10°) - tan³(10°))]
(因为tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A),所以继续化简)
= tan(30°) * tan(10°) / tan(30°) = tan(10°),证明完毕。
关于tan(3A)=(3tanA−tan³A)/(1−3tan²A)的证明:
由正弦和余弦的三倍角公式(随便抓一本三角函数的书上都会有写)
sin(3A)=3sinA-4sin³A=3sinA-3sin³A-sin³A=3sinA(1-sin²A)-sin³A=3sinAcos²A-sin³A=cos³A(3tanA-tan³A),
cos(3A)=4cos³A-3cosA=cos³A+3cos³A-3cosA=cos³A-3cosA(1-cos²A)=cos³A-3cosAsin²A=cos³A(1-3tan²A),
两式一除就能证明。
追问
抱歉,我现在是中国初中毕业的数学水平,所以我更喜欢下面那位的方法
追答
赫赫,那个证明明显是错的,你还看不出来?你仔细读读那个证明,角FEB计算那步明显是在乱来。那道题不添辅助线的话,光靠算角度而不算边长,是绝对推导不出来的,群众的眼睛是雪亮的。
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