数学几何难题求解
三角形ABC,角A等于90度,角C等于70度。F为AB上一点,且角ACF等于30度。E为AC上一点,且角CFE等于20度。连接BE,求证:BE平分角ABC。要求用中国初中...
三角形ABC, 角A等于90度,角C等于70度。F为AB上一点,且角ACF等于30度。E为AC上一点,且角CFE等于20度。连接BE,求证:BE平分角ABC。
要求用中国初中毕业的数学知识解决
先给50分,如果做得好之后再加50 展开
要求用中国初中毕业的数学知识解决
先给50分,如果做得好之后再加50 展开
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作<BCF的平分线,交AB于D,作DG⊥BC,交BC于G,
∵<FCA=30°,
<BCA=70°,
∴<FCB=40°,
∴<BCD=20°,
∵<EFC=20°,
∴EF//CD,(内错角相等,则二线平行),
∴AE/EC=AF/DF,
∵<ACF=30°,
∴AF=CF/2,,(RT△30度所对边是斜边的一半).
∴AE/CE=(CF/DF)/2,(1)
<B=180°-<A-<BCA=20°,
∴△DBC是等腰△,
∴BD=CD,
∵CD是<BCF的平分线,
∴CF/BC=DF/BD,(角平分线定理),
CF/DF=BC/BD(更比),(2)
对比(1)和(2),
AE/CE=(BC/BD)/2,
∵DG也是等腰△DBC的中线,
∴BC=2BG,
∴AE/CE=2BG/(2BD)=BG/BD,
∵<BGD=<BAC=90°,
<DBG=<CBA,(公用),
∴△BDG∽△BCA,
∴BD/BC=BG/AB,
BG/BD=AB/BC,
∴AB/BC=AE/CE,(等量代换),
根据三角形角平分线逆定理,
∴BE是<ABC的平分线.
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追问
抱歉,有个地方没明白,为什么AE/CE=BG/BD能作为相似的条件?
追答
这里不是条件,由(1)式和(2)式对比,AE/CE=(BC/BD)/2=(BC/2)/BD=BG/BD,
又∵△BDG∽△BCA,
∴BG/AB=BD/BC,
∴BG/BD=AB/BC,(更比),
∴AE/CE=AB/BC,
三角形角平分线定理:角平分线把对边分成两线段之比等于其所夹角的邻边之比,
逆定理,若直线所分二线段之比等于所夹角邻边之比,则此直线是该角的平分线.
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证明:过点C作CG平行EF与AB相交于点G,过点G作GD吹奏者BC于D
所以角CFE=角FCG
AE/CE=AF/FG
因为角A=90度
角ACF=30度
所以AF=1/2CF
所以AE/CE=CF/2FG
因为角CFE=20度
角C=角ACF+角BCF=70度
所以角GBC=90-70=20度
角FCG=20度
因为角BCF=角FCG+角BCG=40度
所以角BCG=20度
所以角BCG=角GBC=20度
所以BG=CG
所以三角形BCG是等腰三角形
所以DG是等腰三角形BCG的中线(等腰三角形三线合一)
所以BD=1/2BC
因为角FCG=角BCG=20度
所以CG是角BCF的角平分线
所以FG/BG=CF/BC
所以CF/2FG=BD/BG
所以AE/CE=BD/BG
因为角A=角BDG=90度
角ABC=角ABC
所以三角形BDG和三角形BAC相似(AA)
所以BD/BG=AB/BC
所以AE/EC=AB/BC
所以BE角ABC的角平分线(三角形角平分线的逆定理)
所以角CFE=角FCG
AE/CE=AF/FG
因为角A=90度
角ACF=30度
所以AF=1/2CF
所以AE/CE=CF/2FG
因为角CFE=20度
角C=角ACF+角BCF=70度
所以角GBC=90-70=20度
角FCG=20度
因为角BCF=角FCG+角BCG=40度
所以角BCG=20度
所以角BCG=角GBC=20度
所以BG=CG
所以三角形BCG是等腰三角形
所以DG是等腰三角形BCG的中线(等腰三角形三线合一)
所以BD=1/2BC
因为角FCG=角BCG=20度
所以CG是角BCF的角平分线
所以FG/BG=CF/BC
所以CF/2FG=BD/BG
所以AE/CE=BD/BG
因为角A=角BDG=90度
角ABC=角ABC
所以三角形BDG和三角形BAC相似(AA)
所以BD/BG=AB/BC
所以AE/EC=AB/BC
所以BE角ABC的角平分线(三角形角平分线的逆定理)
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首先证明AE/EC=三角形AEF的面积/三角形CFE的面积
=(AF*EF*sin角AFE)/(EF*CF*sin角EFC)
=(AF/CF)*(sin40度/sin20度)
=cos20度
所以AE/AC=cos20度/(cos20度+1)
因为AE/AB=AE/AC*AC/AB
=(cos20度/(cos20度+1))*tan20度
=sin20度/(cos20度+1)
=2sin10度*cos10度/(2cos10度的平方)
=tan10度
所以角ABE即为10度,即BE平分角ABC
=(AF*EF*sin角AFE)/(EF*CF*sin角EFC)
=(AF/CF)*(sin40度/sin20度)
=cos20度
所以AE/AC=cos20度/(cos20度+1)
因为AE/AB=AE/AC*AC/AB
=(cos20度/(cos20度+1))*tan20度
=sin20度/(cos20度+1)
=2sin10度*cos10度/(2cos10度的平方)
=tan10度
所以角ABE即为10度,即BE平分角ABC
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追问
唔,抱歉,能不用三角函数和解析法吗?
追答
你这题确定是初中题目吗?
个人认为给你这样一个明确但是不一般的角度,应该就是希望用上三角转换的。
其他的我再想想好了。
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角CBE=180-70-CEB=110-CEB
角ABE=90°-AEB=90-(180°-CEB)=CEB-90
CF与BE交点O,CEB=180-30-COE=150-COE
CBE=110-150+COE,COE=CBE+40
ABE=150-COE-90=40-COE=40-(CBE+40)=-CBE,
说明它们的绝对值相等,即角度相等,所以是角平分线
以上式子中把角省略了。
角ABE=90°-AEB=90-(180°-CEB)=CEB-90
CF与BE交点O,CEB=180-30-COE=150-COE
CBE=110-150+COE,COE=CBE+40
ABE=150-COE-90=40-COE=40-(CBE+40)=-CBE,
说明它们的绝对值相等,即角度相等,所以是角平分线
以上式子中把角省略了。
追问
抱歉我想问下为什么要用到绝对值?
过程应该是没有问题,倒角倒得不错。
追答
其实不用绝对值也行啊,-50°的角和50°的角其实也一样的,都能说明是角平分线
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