Question

圆的几何题一道

如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB,AC分别交于点D,E，过点D作DF⊥AC于点F。
（1）判断DF与圆O的位置关系，并证明你的结论：
（2）过点F作FH⊥BC于点H，若等边△ABC的边长为8，求AF,FH的长。

Answer 1

（1）DF与圆O相切
证明：连接OD
因为OB=OD
所以角B=角ODB
因为DF垂直AC于F
所以角AFD=90度
所以角A+角ADF=90度
因为三角形ABC是等边三角形
所以角A=角B=60度
所以角ODB=60度
角ADF=30度
因为角ODB+角ADF+角ODF=180度
所以角ODF=90度
因为OD是圆的半径
所以DF与圆O相切
（2）解：连接DC
因为BC是圆的直径
所以角BDC=90度
因为三角形ABC是等边三角形
所以DC是等边三角形ABC的中垂线
所以角C=角A=60度
AD=BD=1/2AB
AB=AC=8
所以AD=4
因为角AFD=90度（已证）
角ADF=30度（已证）
所以AF=1/2AD
所以AF=2
FC=AC-AF=8-2=6
因为FH垂直BC于H
所以角FHC=90度
所以角HFC=30度
所以CH=1/2FC
FH^2+HC^2=CF^2
所以FH=3倍根号3

Answer 2

（1）DF与圆O相切。理由如下：
连接CD、OD
∵BC是圆O的直径
∴CD⊥AB
∵△ABC是等边三角形
∴D是AB边的中点
∵O是BC的中点
∴OD∥AC
∵DF⊥AC
∴OD⊥DF

即DF与圆O相切。

追问

关键是第二个问题

Answer 3

楼上已给出（1）证明，我给个答案吧：
AF=2，FH=3√3（三倍的根号三）。

追问

（2）的过程

追答

简单提示一下：
设AF=x，连接OD，过O作AC的垂线垂足M，得出MC,且FM=OD=4，得出FC=8-x=4+MC=4+2，得出x=2。因为三角形ADF和三角形FHC相似， 列出边比相等的方程，解出FH.