Question

如图，已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上一点,MN垂直于DM且交角CBE的平分线于N。

(1)试说明MD=MN。
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改成“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

（1）在AD上截取AK=AM，则K为AD中点，连接KM，下面证明三角形KMD和BNM是全等的：
角BMN+角AMD=90度，角BMN+角ADM=90度，故角BMN=角ADM；角DKM=180-45=135；
角MBN=180-45=135，故DKM=MBN，且DK=MB，所以KMD和BNM是全等的，故DM=MN。
（2）结论依然成立：同样在AD上截取AK=AM，同样连接KM，同样证明KMD和BNM全等的；
角BMN=角ADM，DK=MB，角DKM=180-45=135，角MBN=180-45=135，故角DKM=角MBN，

所以KMD和BNM是全等的，故DM=MN。