Question

数学几何难题求解

三角形ABC， 角A等于90度，角C等于70度。F为AB上一点，且角ACF等于30度。E为AC上一点，且角CFE等于20度。连接BE，求证：BE平分角ABC。

要求用中国初中毕业的数学知识解决

先给50分，如果做得好之后再加50

Answer 1

作<BCF的平分线,交AB于D,作DG⊥BC,交BC于G,

∵<FCA=30°,

<BCA=70°,

∴<FCB=40°,

∴<BCD=20°,

∵<EFC=20°,

∴EF//CD,(内错角相等,则二线平行),

∴AE/EC=AF/DF,

∵<ACF=30°,

∴AF=CF/2,,(RT△30度所对边是斜边的一半).

∴AE/CE=(CF/DF)/2,(1)

<B=180°-<A-<BCA=20°,

∴△DBC是等腰△,

∴BD=CD,

∵CD是<BCF的平分线,

∴CF/BC=DF/BD,(角平分线定理),

CF/DF=BC/BD(更比),(2)

对比(1)和(2),

AE/CE=(BC/BD)/2,

∵DG也是等腰△DBC的中线,

∴BC=2BG,

∴AE/CE=2BG/(2BD)=BG/BD,

∵<BGD=<BAC=90°,

<DBG=<CBA,(公用),

∴△BDG∽△BCA,

∴BD/BC=BG/AB,

BG/BD=AB/BC,

∴AB/BC=AE/CE,(等量代换),

根据三角形角平分线逆定理,

∴BE是<ABC的平分线.

追问

抱歉，有个地方没明白，为什么AE/CE=BG/BD能作为相似的条件？

追答

这里不是条件,由(1)式和(2)式对比,AE/CE=(BC/BD)/2=(BC/2)/BD=BG/BD,
又∵△BDG∽△BCA,
∴BG/AB=BD/BC,
∴BG/BD=AB/BC,(更比),
∴AE/CE=AB/BC,
三角形角平分线定理:角平分线把对边分成两线段之比等于其所夹角的邻边之比,
逆定理,若直线所分二线段之比等于所夹角邻边之比,则此直线是该角的平分线.

追问

哦哦，看错了，我说的嘛，嗯，不错，真的不错，十分巧妙的辅助线。
采纳是肯定的了，而且再给您加50.
不过最后再问下，您是如何想到这种做法的？

追答

当然用到高中知识肯定可以少费些脑子,直接套公式计算即可,平面几何虽然是初中知识,但有些题目即使是研究生也很难解决,这里要解决角度相等的几何题,在角度无法找出关系时,只能借助相似比例关系来解决.
我偶尔路过,若能助君一点儿微小之力也是我的容幸.

Answer 2

证明：过点C作CG平行EF与AB相交于点G，过点G作GD吹奏者BC于D
所以角CFE=角FCG
AE/CE=AF/FG
因为角A=90度
角ACF=30度
所以AF=1/2CF
所以AE/CE=CF/2FG
因为角CFE=20度
角C=角ACF+角BCF=70度
所以角GBC=90-70=20度
角FCG=20度
因为角BCF=角FCG+角BCG=40度
所以角BCG=20度
所以角BCG=角GBC=20度
所以BG=CG
所以三角形BCG是等腰三角形
所以DG是等腰三角形BCG的中线（等腰三角形三线合一）
所以BD=1/2BC
因为角FCG=角BCG=20度
所以CG是角BCF的角平分线
所以FG/BG=CF/BC
所以CF/2FG=BD/BG
所以AE/CE=BD/BG
因为角A=角BDG=90度
角ABC=角ABC
所以三角形BDG和三角形BAC相似（AA)
所以BD/BG=AB/BC
所以AE/EC=AB/BC
所以BE角ABC的角平分线（三角形角平分线的逆定理）

Answer 3

首先证明AE/EC=三角形AEF的面积/三角形CFE的面积
=（AF*EF*sin角AFE)/(EF*CF*sin角EFC）
=（AF/CF）*（sin40度/sin20度）
=cos20度
所以AE/AC=cos20度/（cos20度+1）
因为AE/AB=AE/AC*AC/AB
=（cos20度/（cos20度+1））*tan20度
=sin20度/（cos20度+1）
=2sin10度*cos10度/（2cos10度的平方）
=tan10度
所以角ABE即为10度，即BE平分角ABC

追问

唔，抱歉，能不用三角函数和解析法吗？

追答

你这题确定是初中题目吗？
个人认为给你这样一个明确但是不一般的角度，应该就是希望用上三角转换的。
其他的我再想想好了。

追问

这个不是初中题目，是竞赛题，但是是加拿大高中竞赛，也就相当于国内初中毕业的知识水平，他们肯定不会学这样子的三角函数。

个人感觉做几条辅助线应该能做出来，可是试了两天还没出结果，所以上来求助。

Answer 4

角CBE=180-70-CEB=110-CEB
角ABE=90°-AEB=90-(180°-CEB)=CEB-90
CF与BE交点O,CEB=180-30-COE=150-COE
CBE=110-150+COE,COE=CBE+40
ABE=150-COE-90=40-COE=40-(CBE+40)=-CBE,
说明它们的绝对值相等，即角度相等，所以是角平分线
以上式子中把角省略了。

追问

抱歉我想问下为什么要用到绝对值？
过程应该是没有问题，倒角倒得不错。

追答

其实不用绝对值也行啊，-50°的角和50°的角其实也一样的，都能说明是角平分线

Answer 5

从这幅图来看，问题错了

我应该没画错吧

追问

抱歉，E为线段AC上一点，不是直线AC

追答

我知道了
刚刚在想
用“到角两边距离相等的。。在这个角的角平分线上”这个性质做一下
做EP 垂直BC 试试

追问

做过了，没有用，勾股定理也倒不出来

Answer 6

角平分线定理和正弦定理学过吗？

追问

这个我会，但是很抱歉，中国初中应该没有这个知识点
能不用三角函数和解析法吗？

追答

我以为你是奥赛选手...这个不是奥赛题啊？
是普通题？那你看1L那个可以不 我就不想了

给了角度还是这么特殊的角度当然得用三角函数啊

追问

我是加拿大奥赛选手，这种方法超过范围不让用啊。