Question

试用两种方法求函数f(x)=x^2/（x^2+1）的值域

Answer 1

1、设y=X^2/(X^2+1)，(y≥0，y≠1)
则(1-y)X^2=y，X^2=y/(1-y)
Y/(1-Y)≥0得0≤y≤1，∴0≤y<1。
即：0≤f(X)<1。

2、f(x)=(X^2+1-1)(X^2+1)=1-1/(X^2+1)，
∵X^2+1≥1，
∴0<1/(X^2+1)≤1
∴-1≤-1/(X^2+1)<0，
∴0≤1-1/(X^2+1)<1，
即：0≤f(X)<1。

Answer 2

首先，这是一个偶函数x∈R，
①分离变量f（x）=1-【1/（x²+1）】，这个就是-1/x²图像向左平移一个单位在向上平移一个单位得到的，所以值域是（0，1）
②换元。设x²=t，t∈[0，＋∞] 然后y=t/（t+1），值域为（0，1）

Answer 3

观察法F(X)=1-1/(x^2+1)值[0,1）
反函数法y=x^2/(x^2+1),(y大于等于0)求得1/（1-1/y）=x^2>0=>y<1所以值域【0,1）

Answer 4