Question

∫（-1,1）x(1+x^2001)(e^x-e^-x)dx

Answer 1

解：∵[e^x-e^(-x)]x^2002是奇函数，[e^x-e^(-x)]x是偶函数
∴∫(-1,1)[e^x-e^(-x)]x^2002dx=0，∫(-1,1)[e^x-e^(-x)]xdx=2∫(0,1)[e^x-e^(-x)]xdx
故∫(-1,1)x(1+x^2001)(e^x-e^-x)dx=∫(-1,1)[e^x-e^(-x)]xdx+∫(-1,1)[e^x-e^(-x)]x^2002dx
=2∫(0,1)[e^x-e^(-x)]xdx+0
=2{(e+1/e)-∫(0,1)[e^x+e^(-x)]dx} (应用分部积分法)
=2[(e+1/e)-(e-1/e)]
=2(2/e)
=4/e。

Answer 2

设
A = ∫(- 1→1) x(1 + x²ºº¹)[e^x - e^(- x)] dx
令u = - x，du = - dx
A = ∫(1→- 1) (- u)[1 + (- u)²ºº¹][e^(- u) - e^u] (- du)
A = ∫(- 1→1) (- x)(1 - x²ºº¹)[e^(- x) - e^x] dx
A = ∫(- 1→1) x(1 - x²ºº¹)[e^x - e^(- x)] dx
A + A = ∫(- 1→1) x(1 + x²ºº¹)[e^x - e^(- x)] dx + ∫(- 1→1) x(1 - x²ºº¹)[e^x - e^(- x)] dx
2A = ∫(- 1→1) x[e^x - e^(- x)] • [(1 + x²ºº¹) + (1 - x²ºº¹)] dx
2A = ∫(- 1→1) x[e^x - e^(- x)] • 2 dx
A = ∫(- 1→1) x d[e^x + e^(- x)]
A = x[e^x + e^(- x)] |(- 1→1) - ∫(- 1→1) [e^x + e^(- x)] dx
A = [(e + 1/e) - (- 1)(1/e + e))] - [e^x - e^(- x)] |(- 1→1)
A = (e + 1/e + 1/e + e) - [(e - 1/e) - (1/e - e)]
A = (2e + 2/e) - (2e - 2/e)
A = 4/e