Question

已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．

（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

（1）设f(x)=ax(x-2)+3=ax^-2ax+3,
其最小值=（12a-4a^)/(4a)=3-a=1,a=2,
∴f(x)=2x^-4x+3.
(2)f（x）在区间[2a，a+1]上不单调,
<==>2a<1<a+1,
<==>0<a<1/2.
(3)在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,
<==>(2x^-4x+3)-(2x+2m+1)=2x^-6x+2-2m>0,
<==>m<x^-3x+1=(x-3/2)^-5/4,x∈[-1,1],↓；
<==>m<-1，为所求.

Answer 2

解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）
∴对称轴为x=1
又最小值为1
设f（x）=a（x-1）2+1
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）2+1=2x2-4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴0＜a＜1/2
（3）由已知2x2-4x+3＞2x+2m+1在[-1，1]上恒成立
化简得m＜x2-3x+1
设g（x）=x2-3x+1
则g（x）在区间[-1，1]上单调递减
∴g（x）在区间[-1，1]上的最小值为g（1）=-1
∴m＜-1