Question

已知：a1=z,z>0,a(n+1)=sin(an),求lim(n)^(1/2)*sin(an)的极限

an 表示数列的第n项
前辈，如果换成这样的条件呢 ：a(n+1)=sin(an) (n>2) 该怎么做？其余不变

Answer 1

√3，-√3，或0。取决于sin(z)的符号。sin(z)为正即为√3，sin(z)为负否则为-√3，如果sin(z)=0则为0。

我这个结果是凑的，应该是正确的，但也不是严格推导出来的，楼主将就着看吧。

我设sin(z)>0，因为sin(z)<=1<pi/2，所以后来a(n)就都在0到1之间了（sin(z)<0的情况，取个反号就行，没差别）

首先a(n)的极限是0，a(n+1)=sin(an)<a(n)，慢慢会不断地变小，而且有下界0，所以有极限，这个极限需满足sinA=A，只能是0。所以n^(1/2)*sin(a(n))和n^(1/2)*a(n)其实极限是一样的。

后面的就是凑的了，设a(n)~C/√n+O(1/√n)，C为待定常数。

一方面，a(n+1)/a(n)~(C/√(n+1))/(C/√n)=(1+1/n)^(-1/2)~1-1/2*1/n。

一方面，a(n+1)/a(n)=sin(a(n))/a(n)~(a(n)-1/6*a(n)^3)/a(n)=1-1/6*a(n)^2~1-1/6*(C/√n)^2=1-1/6*C^2*1/n。

当中用到了sin(x)的泰勒级数展开，以及(1+x)^a~1+ax

两边一比较，必须有1/2=1/6*C^2，得C=√3或-√3。

用电脑计算了下，正数部分确实是√3。