Question

设函数f(x)=x|x-a|+b设常数b<2根号2-3,且对任意x属于[0,1],f(x)<0恒成立,求a的取值范围

Answer 1

解:f(x)<0即x|x-a|<-b
要使得不等式恒成立，那么不等式左边的最大值要小于不等式右边的最小值，
因为b<2√2-3,所以-b>3-2√2,所以x|x-a|≤3-2√2要在x∈[0,1]恒成立
x∈[0,1]时，x|x-a|=|x^2-ax|，所以|x^2-ax|≤3-2√2要在x∈[0,1]恒成立
令f(x)=x^2-ax,对称轴为x=a/2,且过定点（0，0）
当a/2≤0即a≤0时，|f(x)|不影响函数f(x)在x>0的函数值，所以f(1)≤3-2√2即可
求得a为空集
当0<a/2≤1/2即0<a≤1时,那么-f(a/2)≤3-2√2,并且f(1)≤3-2√2
求得a=2√2-2
当1>=a/2>1/2时，-f(a/2)≤3-2√2,求得a不存在
当a/2>1时，-f(1)<=3-2√2,求得a不存在
综上a=2√2-2

Answer 2

由题意得在[0,1]上f(x)<=3-2倍根2，在[0,1]上
当a>=1时，f(x)=-x^2+ax，对称轴x=a/2>1/2,其最大值在x=1处，为a-1<=3-2倍根2，a<=4-2倍根2
当0<a<1时，1：0<x<a时，f(x)=-x^2+ax，2：a<=x<1时，f(x)=x^2-ax,最大值为x=1，1-a<=3-2倍根2，2倍根2-2<=a
当a<=0时,f(x)=x^2-ax，最大值为x=1,1-a>1不符合题意
综上所述，2倍根2-2<=a<=4-2倍根2