Question

定义在D上的函数f(x),如果满足:对任意x∈D

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界

（1）判断函数f（x）=x²-2x+2 x∈【0,2】是否为有界函数
（2）试证明：设M＞0，N＞0，若f（x），g（x)在D上分别以M、N为上界，求证：函数f（x）+g（x）在D上以M+N为上界
（3)若函数f（x）=1+a*（0.5的x次方）+（0.25的x次方）在【0，﹢∞）上是以3为上界的有界函数，求a的范围。

Answer 1

（1）易知f(x)min=f(1)=1,f(x)max=f(0)=f(2)=2,所以f(x)在[0,2]上有上界2,下界1.
（2）由题意得f(x)≤M,g(x)≤N.(x∈D).
∴f(x)+g(x)≤M+N(同向不等式相加)
∴函数f(x)+g(x)在D上以M+N为上界.
(3)由题意得f(x)≤3,所以a*(1/2)^x+(1/4)^x≤2(x≥0).(*)
易知(1/2)^x和(1/4)^x在[0,+∞)上递减.
∴当a≤0时,*式恒成立.
当a>0时,令x=0,则有a+1≤2,所以a小于等于1.
所以a∈(-∞,1].
有些过程写得简略了,如果你有哪个步骤不清楚,请追问

追问

能不能具体解释一下有界函数的含义，讲通俗点

追答

你可以这样理解

一个函数有界，就代表这个函数有最大值或最小值

有上界，就有最大值，有下界，就有最小值

只不过这个上下界的值不一定就是最大值或最小值的值，比如一个函数最大值是2，那么2和任何大于2的数都是这个函数的上界

在这个题目里面你可以直接理解为是对函数值的限定条件，上界为x，就代表函数值小于等于x