Question

已知函数f(x)=2sin(wx+φ)为偶函数(0<φ<π,w>0),且函数y=f(x)函数的两相邻对称轴间的距离为π/2

(1)求f(π/8)
(2)写出函数f(x)的单调减区间

Answer 1

1、函数f（x）=2sin（wx+φ)为偶函数，
即f（-x）=f(x)，
2sin（-wx+φ)=2sin（wx+φ)
-wx+φ=π-(wx+φ)+2kπ
因为0＜φ＜π
所以φ=π/2，
f（x）=2sin（wx+π/2)
函数y=f（x）的图像的两相邻对称轴间的的距离为π/2，
则最小正周期T=2π/w=2*π/2=π，得w=2，
即f（x）=2sin（2x+π/2）=2cos2x，
f（π/8）=2cosπ/4=√2；
2、函数f(x)的单调减区间
2kπ<2x<π+2kπ
kπ<x<π2/+kπ
函数f(x)的单调减区间j是[kπ，π2/+kπ]

Answer 2

1、函数f（x）=2sin（wx+φ)为偶函数，
所以

sin（wx+φ)=cos（wx）
所以φ=π/2
因为函数y=f（x）的图像的两相邻对称轴间的的距离为π/2
所以T=π/2 ，T=2π/w （你可以去观察一下图像从起点开始每一个T/4 都具有一个意义 sin的图像 往右边开始加 起点加T/4个单位 代表的函数值是最高点 所以是 T/2 代表的是2个 相邻对称轴间的的距离为π/2）
联立解上式 得 w=4
符合题意0<φ<π,w>0
f（x）=2sin（4x+π/2) 把π/8 带入
= 2sinπ =2*0=0
2、
把wx+φ 带入 曾区间中 进行求解 增区间为-π/2+2kπ<=wx+φ<=π/2+2kπ
解得 增区间为[-π/4+1/2kπ，1/4kπ]