Question

如图,在圆心O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是弧CAD上一点(不与C,D重合).求证:角

如图,在圆心O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是弧CAD上一点(不与C,D重合).求证:角CPD=角COB;(2)点P`在劣弧CD上(不与C,D重合)时,角CP`D与角COB有什么数量关系?请证明你的结论.
过程,解释

Answer 1

【考点】圆周角定理，圆心角、弧、弦关系，垂径定理。

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；

圆心角、弧、弦关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ；

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

【分析】

（1）根据圆周角定理可知∠CPD=1/2∠COD，根据垂径定理可知弧CB=弧DB， 根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 ，可知∠COB=∠DOB=1/2COD，推出∠CPD=∠COB；

（2）根据圆周角定理可知∠CPD=1/2优角COD，根据垂径定理可知弧AC=弧AD，根据等弧对等角可知∠AOC=∠AOD=1/2优角COD，推出∠CPD=∠AOC，由∠AOC+∠COB=180°可知∠CPD+∠COB=180°。

【解答】

（1）

证明：

连接OD，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD（已知），

∴弧BC=弧BD（垂径定理），

∴∠COB=∠DOB=1/2∠COD（同弧所对的圆心角相等），

∵∠CPD=1/2∠COD（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），

∴∠CPD=∠COB（等量代换）。

（2）

当点P在劣弧CD上时，∠CPD+∠COB=180°。

证明：

连接OD，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD（已知），

∴弧AC=弧AD（垂径定理），

∴∠AOC=∠AOD=1/2优角COD（同弧所对的圆心角相等），

∵∠CPD=1/2优角COD（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半），

∴∠CPD=∠AOC（等量代换）。

∵∠AOC+∠COB=180°（平角180°），

∴∠CPD+∠COB=180°（等量代换）.

Answer 2

第一问
连接pb
因为cd是圆上一条轩 ab垂直cd
所以弧cb=弧bd
角cpb=角dpb
因为点p在圆上
所以角cab=2角cpb（定理 可以引用的）
得证 第一问
第二问
第一问p点保留，在劣弧cbd上作一点p” ， 连接cp“ dp”
因为四边形dpcp“在圆上
所以对角相加为180度（定理 可以引用的）
角cpd+角cp”d=180
由第一问可知 角cob=角cpd
可以得知 角cob+角cp“d=180度
兄弟 记得采纳哦

追问

所以角cab=2角cpb（定理 可以引用的）

在劣弧cbd上作一点p”
所以对角相加为180度（定理 可以引用的）

角cob+角cp“d=180度

追答

圆心角是圆周角2倍

Answer 3

连接CA、DA。
可证，角CPD=角CAD（同弧对的圆周角）。
角COB=2*角CAB（外角）
角CAD=2*角CAB（角平分线）
角COB=角CAD，
故，角CPD=角COB。

追问

为什么得出这一步角CPD=角COB有什么定理吗

追答

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是，圆周角的度数等于圆心角的一半。

Answer 4

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