Question

已知L过点A(-4,1)且与圆x^2+y^2-4x+y=0相交与M,N,求:M,N中点的轨迹

Answer 1

勾股定理计算过于繁琐，楼上的半径就算错了，r^2=17/4≠5
只需运用两条垂直直线的斜率乘积为-1
已知直线L过点(-4,1)
若直线L的斜率不存在，则直线L的方程为x=-4，与圆无交点，不合题意
若直线L的斜率为零，则直线L的方程为y=1，与圆交点的横坐标为方程x^2-4x+2=0的两根，因为两根之和为4，所以M,N中点P的坐标为(2,1)
若直线L的斜率存在且不为零，设M,N中点P的坐标为(x,y)
则AP⊥CP
所以k(AP)×k(CP)=-1
即[(y-1)/(x+4)]×[(y+1/2)/(x-2)]=-1
化简得x^2+2x+y^2-(1/2)y-17/2=0
即(x+1)^2+(y-1/4)^2=153/16，（除去点(2,1)）
显然，点(2,1)也满足上述轨迹方程
又因为点P在圆C内
所以综上所述，点P的轨迹为：以(-1,1/4)为圆心，(3/4)√17为半径，在圆x^2+y^2-4x+y=0内部（不含圆周）的无端点圆弧段，轨迹方程为(x+1)^2+(y-1/4)^2=153/16，(x^2+y^2-4x+y<0)

Answer 2

已知L过点A(-4,1)且与圆x^2+y^2-4x+y=0相交与M,N,求:M,N中点的轨迹
设中点为G(x,y)，圆心C（2,-0.5），r^2=5，由圆的弦的性质，必须GC⊥MN，即GC⊥AG
由勾股定理，AC^2=AG^2+GC^2
代入坐标有：36+9/4=(x-2)^2+(y+0.5)^2+(x+4)^2+(y-1)^2
整理有：2x^2+2y^2+4x-y-17=0，其轨迹以（-1，0.25）为圆心的一个圆又G必在圆C内，故只取圆C内部分，即轨迹为一段圆弧。