已知函数f(x)=a^x+x-2/x+1(a>1) (1)判断f(x)函数在(-1,+∞)上的单调性。
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f(x)=a^x+x-2/(x+1)
任取-1<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=a^x1+x1-2/(x1+1)-[a^x2+x2-2/(x2+1)]
=a^x1-a^x2+(x1-x2)+2(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
=a^x1[1-a^(x2-x1)]+(x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]
∵a>1,x2-x1>0∴1-a^(x2-x1)<0
又x1-x2<0 ∴ (x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]<0
∴a^x1[1-a^(x2-x1)]+(x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在（-1，正无穷）上是增函数
任取-1<x1<x2
f(x1)-f(x2)
=a^x1+x1-2/(x1+1)-[a^x2+x2-2/(x2+1)]
=a^x1-a^x2+(x1-x2)+2(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
=a^x1[1-a^(x2-x1)]+(x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]
∵a>1,x2-x1>0∴1-a^(x2-x1)<0
又x1-x2<0 ∴ (x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]<0
∴a^x1[1-a^(x2-x1)]+(x1-x2)[1+2/[(x1+1)(x2+1)]
∴f(x1)<f(x2)
∴f(x)在（-1，正无穷）上是增函数
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