Question

设a≥0，函数f（x）=[x2+（a﹣3）x﹣2a+3]ex，． （ I）当a≥1时，求f（x）的最小值

Answer 1

令f'(x)={[x^2+(a-3)x-2a+3]e^x}'
=(2x+a-3)e^x+[x^2+(a-3)x-2a+3]e^x
=(x+a)(x-1)=0
则x=-a或x=1
因a≥1，则-a≤-1<1
当x<-a或x>1时f'(x)>0，则f(x)递增
当-a<x<1时f'(x)<0，则f(x)递减
易知x=-a为f(x)的极大值点
而x=1为f(x)的极小值点

考虑到当x<-a时f(x)递增
因f(-a)=(a+3)/e^a
又a≥1，显然f(-a)>0
而lim(x→-∞)f(x)
=lim(-x→+∞)f(x)
=lim(-x→+∞){[(-x)^2+(3-a)(-x)-2a+3]/e^(-x)}
=0（二次罗必塔法则）
而f(1)=(1-a)e
又a≥1，则f(1)≤0
所以f(x)min=f(1)=(1-a)e