Question

f(x)=x²-2x+3，求f（-x²+5）的单调区间

Answer 1

先求出f(x)=x²-2x+3= (x-1)²+2 的单调区间，即 f(x)在 x>=1 时 单调递增
在 x<=1 时 单调递减
然后通过求解 -x²+5 >=1 和 -x²+5<=1 以及-x²+5 本身的单调区间（x>=0 递减， x<=0 递增）得出
f(-x²+5)的单调区间是 x>=2, 单调递增 （内减外减）
0<=x<=2, 单调递减 （内减外增）
-2<=x<=0 单调递增 （内增外增）
x<=-2 单调递减 （内增外减）
规律是 外面是增的，那单调性和内的一致； 外面是减的，那单调性与内相反

Answer 2

f(x) = x^2-2x+3
f(-x^2+5)
= (-x^2+5)^2-2(-x^2+5)+3
=x^4-8x^2+18

d/dx (f(-x^2+5) ) = 4x^3-16x
d/dx (f(-x^2+5) )=0
4x^3-16x=0
x(x^2-4)=0
x=0 or 2 or -2

d^2/dx^2 (f(-x^2+5) ) = 12x^2-16
d^2/dx^2 (f(-x^2+5) ) |x=0 = -16 <0 (max)
d^2/dx^2 (f(-x^2+5) ) |x=2 = 32 <0 (min)
d^2/dx^2 (f(-x^2+5) ) |x=-2 = 32 <0 (min)

单调区间
增加: [-2,0] U [2,+∞)
减小: (-∞, -2] U [0,2]