Question

已知函数f(x)=1/3x^3-x^2+ax-a 当a=-3时，求函数f(x)的极值

（1）当a=-3时，求函数f(x)的极值 （2）若函数(f)的图像与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围 详细过程

Answer 1

解答：
（1）a=-3
f'(x)=x²-2x-3
当 x>3或x<-1时，f'(x)>0, f(x)递增
当 -1<x<3时，f'(x)<0, f(x)递减
∴ f(-1)是极大值，f(3)是极小值
∵ f(x)=(1/3)x³-x²-3x+3
∴ 极大值f(-1)=14/3
极小值f(3)=-6
（2）
∵f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
∴ f'(x)=x²-2x+a
① △=4-4a≤0,即 a≥1
此时，f'(x)恒非负，
∴ f(x)是增函数，
满足 f(x)的图像与x轴有且只有一个交点
② △=4-4a>0,即 a<1
令f'(x)>0, 则x>1+√(1-a)或x<1-√(1-a);
令f'(x)<0, 则1-√(1-a)<x<1+√(1-a)
∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增;
在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减
∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,在x=1+√(1-a)处取极小值
由题意，f(x)的极大值小于0, 或者f(x)的极小值大于0满足题意
（发现直接代入比较麻烦，需要对f(x)进行变形，利用x²-2x+a=0的两个根是1-√(1-a)，1+√(1-a)）
f(x)=(1/3)x³-x²+ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)x²+(2/3)ax-a
=(1/3)x(x²-2x+a)-(1/3)(x²-2x+a)+(2/3)ax-(2/3)x-(2/3)a
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)(ax-x-a)
=(1/2)(x-1)(x²-2x+a)+(2/3)[(a-1)(x-1)-1]
∴极大值 f(1-√(1-a))=(2/3)[(1-a)√(1-a) -1]<0 ∴ √(1-a)<1, 即 0<a<1
极小值 f(1+√(1-a))=(2/3)[(a-1)√(1-a) -1]>0, ∴(a-1)√(1-a)>1 ∵ a-1<0, ∴无解
∵ a<1
即 0<a<1

综上，a的取值范围为(0,+∞)

Answer 2

1)f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5-3x+3f'(x)=x�0�5-2x-3=(x-3)(x+1)令f'(x)>0, 则x>3或x<-1; 令f'(x)<0, 则-1<x<3∴f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调增; 在(-1,3)上单调减∴f(x)在x=-1处取极大值,x=3处取极小值f(-1)=-1/3-1+3+3=14/3f(3)=9-9-9+3=-6综上,f(x)极大值为f(-1)=14/3, 极小值为f(3)=-62)f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5+ax-af'(x)=x�0�5-2x+a由题意: f(x)单调,或者f(x)的极大值在x轴下方, 或者x的极小值在x轴上方①f(x)单调,则f'(x)>=0或f'(x)<=0恒成立∴△=4-4a<=0, ∴a>=1②f(x)不是单调的, 则△=4-4a>0, a<1令f'(x)>0, 则x>1+√(1-a)或x<1-√(1-a); 令f'(x)<0, 则1-√(1-a)<x<1+√(1-a)∴f(x)在(-∞,1-√(1-a))和(1+√(1-a),+∞)上单调增; 在(1-√(1-a),1+√(1-a))上单调减∴f(x)在x=1-√(1-a)处取极大值,x=1+√(1-a)处取极小值f(x)=(1/3)x�0�6-x�0�5+ax-a=(1/3)(x�0�5-2x+a)(x-1)+(2/3)(ax-a-x)极大值 f(1-√(1-a))=(2/3)(ax-a-x)<0, (1-a)√(1-a)<1 解得 √(1-a)<1, 0<a<1极小值 f(1+√(1-a))=(2/3)(ax-a-x)>0, (a-1)√(1-a)>1 而a-1<0, ∴无解综上,a>0,即a的取值范围为(0,+∞)

Answer 3

解：(1)f(x)'=xx-2x+a=0当a=-3 x1=-1,x=3 函数有两极值14/3,-6 (2)好难得写。

Answer 4

（1)f`(x)=x^2-2x-3=0 x=-1或3 x=-1极大值为14/4,x=3极小值为-6（2）f`(x)=x^2-2x+a的判别式≤0 a≤1