Question

已知M(3,2)、N(1,2)，点P在x轴上，且且PM+PN最短，则点P的坐标是?求过程

Answer 1

见图自明，P′M+P′N＝P′M′+P′N＞NM′＝PM+PN

                                                                 [两点之间，直线最短。]

P﹙2，0﹚

Answer 2

设点P坐标(x，0)
PM+PN=√[(x-3)²+(0-2)²]+√[(x-1)²+(0-2)²]
=√[(x-3)²+4]+√[(x-1)²+4]
√[(x-3)²+4]、√[(x-1)²+4]均恒为正，由均值不等式得，当√[(x-3)²+4]=√[(x-1)²+4]时，√[(x-3)²+4]+√[(x-1)²+4]取得最小值，此时
(x-3)²=(x-1)²
x-3=x-1(等式不成立，舍去)或x-3=-(x-1)
2x-4=0
x=2
点P坐标(2，0)

或者：
作N关于x轴的对称点L（1，-2），有PN=PL
对于两点之间，直线最短（三角形的两边之和大于第三边）
P点即为M、L与x轴的交点，即可求得P坐标（2，0）

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