Question

泰勒级数在什么情况下一定收敛于f(x)

既然泰勒级数在收敛域内不一定收敛于f(x)那么 什么条件下 可以确定收敛于f(x)么

Answer 1

常用的充分条件是这样的：
如果函数 f(x) 可以延拓为复变函数 f(z) (即 x 可以是复数, 记为 z 以示区别)，并且 f(z) 在以 z0 为圆心，半径为 R 的圆内解析（复可导），则 f(z) 在 z0 处的泰勒级数在该圆内处处收敛到 f(z)。
这个定理不仅说明了泰勒级数的收敛性、收敛到的值，还给出了判定收敛半径的方法。

对于初等函数来说，这个定理是非常易用的。当然前提得懂复变函数的基础知识，比如解析是什么意思，如何判定奇点等。

...再唠叨两句吧

举例来说，1/(9-x^2) 在 x=0 处展开。1/(9-z^2) 在 z=3, -3 处没定义（奇点），其余处处可导，故在半径 R=3 的圆内解析，展开的Taylor级数在其内收敛于f(x)。 如果是在 x=4 处展开，可以算出4离最近奇点的距离是1，于是收敛半径是 1，同样是收敛到f(x)的。
还有个重要的例子是 exp(-1/x^2) （这里exp是指数函数的意思），补充定义后，它在 x=0 处无穷阶可导，但是 x=0 的 Taylor 级数仅在 0 处收敛到 f(x)。这是因为从复数的角度看，exp(-1/z^2) 在 z=0 处是不可导的，因为 1/z^2 在0处不可导...

关于解析以及奇点的概念三言两语很难讲清，楼主自己学习下吧，一般在复变函数或是数学物理方法里。

稍微总结下：对于初等函数（这个概念一定要非常清楚），其 Taylor 级数（如果有的话）在收敛域内收敛到函数本身。
前面 exp(-1/x^2), x=0 是间断点，而分段函数不是初等函数，补充定义实质上是分段函数。

Answer 2

这个不对吧，泰勒级数在收敛域内一定收敛于f(x) （要不干嘛叫收敛域呢，呵呵）。应该是如果泰勒级数在点x=x0的某邻域收敛，但它却不一定收敛于f(x) 。理论上说，如果f(x)的泰勒展开式中的余项R(x)满足当n趋于无穷时limR(x)=0，那么可以确定收敛于f(x)。但实际上证明limR(x)=0太麻烦，通常判断泰勒级数在什么条件下收敛于f(x)也就是求幂级数的收敛域，可以利用幂级数的收敛半径很方便地求得。

追问

但是书上有句话说 函数展开成泰勒级数 但是它却不一定收敛于函数本生哦 比如分段函数f（x）在x=0为0，x不等于0的时候为e^(-1/x^2)那个例子 留下qq交流嘛

追答

e^(-1/x^2)那个例子我看过，它是说f(x)在x=0处的各阶导数都存在且都等于0，于是按泰勒级数的展开式得∑0*x^n/n!=0+0+0+...，但它不是f(x)的麦克劳林级数，即f(x)不能展开为泰勒级数，∑0*x^n/n!=0+0+0+.这个展开式只是形式上的，没什么意义，它根本就不是f(x)的泰勒级数，更谈不上收敛域了。我的q1206683842，不过我不经常上的。