Question

已知:如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点,∠ABC=2∠BAC,∠ABC的平分线交⊙O于点D

1.求证：AD=CD=BC
2.若⊙O的半径为2cm，求四边形ABCD的周长

Answer 1

（1）
]连接AD、BC、OD、OC
因为,∠ABC=2∠BAC
所以角BAC＝30度，角ABC＝60度
因为OC=OB，
所以角OCB＝60度
三角形OCB是等边三角形
角BOC＝60度
同理：角AOD＝60度
角COD＝180-60-60＝60度
所以AD=CD=BC
（2）
因为三角形BOC、三角形AOD、三角形COD都是等边三角形
所以ABCD的周长＝2*5＝10厘米

Answer 2

证明：∵AB是圆心O的直径
∴∠ACB=∠ADB=90°
∵∠ABC＋∠ACB＝90°,∠ABC＝2∠BAC
∴∠CAB＝30°,∠ABC＝60°
∵BD平分∠ABC
∴∠ABD＝∠CBD＝½∠ABC＝30°＝∠BAC
∴AD＝DC＝CB
⒉∵圆O的半径为2cm
∴直径AB＝4cm
∵∠ACB＝90°,∠CAB＝30°
∴CB＝½AB＝2cm
∴四边形ABCD＝AB+BC+CD+DA=AB+3BC=4＋3×2=10﹙cm﹚